Хорошие вопросы: почему есть "Туркмения", "Киргизия", но нет "Таджикии" и "Казахии"?
Существует "золотая" середина в сложности слов. Если слово слишком сложное, то возникают его упрощённые варианты. Например, в корне "туркмен" имеется два закрытых слога и тройное сочетание согласных. Поэтому появился простой вариант произношения "Туркмения".
Корень "башкир" содержит два закрытых слога. У него нет тройных согласных, но зато есть двойная плюс сложный для произношения звук "р". Поэтому (?) появился простой вариант "Башкирия".
Касательно корня "татар", тут всего один закрытый слог и нет двойных согласных. Поэтому в современном языке нет оснований использовать упрощённый вариант. Но был в исторической России, когда дикция населения не была прокачана приходом цивилизации и "золотая" середина была значительно ниже.
Корень "узбек" имеет двойное сочетание гласных, но короткий передний слог, что упрощает его произношение. Кроме того, имеется сочетание "ек", имеющее (?) несколько унизительный смысл (чебурек, абрек.. ). Поэтому для упрощения ("Узбекия") не только нет оснований, но оно ещё будет иметь унизительный оттенок.
Корень "таджик" - это чуть-чуть посложнее, но опять это "мерзкое" "ик". Поэтому «Таджикию» отметаем.
Корень "казах" - ну тут всё совсем просто, тут даже два открытых слога, если считать, что "х" - это почти гласный звук. Упрощать дальше ("Казахия") - это намекнуть на свою (пещерную) древность или принадлежность к поколению "пепси".
)