Сложение и умножение в треугольной арифметике
А вот теперь всё складывается. Кажется я понял, в чём был подвох со сложением и умножением в треугольной арифметике.
Если в линейной (простой) арифметике у нас нет вариантов, куда плюсовать очередную единицу (есть два варианта, но при плюсовании в отрицательную сторону мы попросту переносим ноль, что аналогично прибавлению к положительной стороне), то в арифметике треугольной нам следует для каждой операции задавать направление действия - к какой стороне мы будем прикладывать очередную единицу.
Рассмотрим для начала вариант, когда мы в процессе прибавления не пересекаем метаноль (как в линейной не прибавляли бы отрезок с отрицательной стороны). Тогда у нас есть два варианта на каждую операцию, и мы не можем просто записать 1+1+1+1 - нам надо для каждой из единиц (кроме первой) указать место, куда её приткнуть. Что возвращает нас к представлению треугольного числа в виде ветвящегося дерева - графу с трёхсвязными вершинами.
Для умножения же как для операции повторения прибавления счётное количество раз ситуация ещё сложнее. Фактически, нам нужно задать алгоритм, в котором порядок прибавления как-то регулировался бы. Например, мы можем задать умножение как прибавление несколько раз без изменения полярности (т.е. постоянно прибавляем треугольники к последнему треугольнику, допустим, по часовой стрелке). Тогда мы после 5 таких операций придём к правильному 6-угольнику, занимающему одну треть начала координат.
Если мы зададим умножение с поочерёдной сменой полярности, то получим растущую «змейку» вдоль метаноля (у нас будет то трапеция, то параллелепипед шириной в один треугольник).
А можно задать умножение как прибавление единицы к каждой из трёх сторон каждый раз. Тогда мы получил ряд растущих «крепких» треугольных чисел. И ноль можно сдвигать каждый раз, как мы это делаем в линейной арифметике.
В общем, есть уже три варианта операции умножения. Правильного среди них нет - все имеют место быть :)
Чёй-то меня поперло :)
Если в линейной (простой) арифметике у нас нет вариантов, куда плюсовать очередную единицу (есть два варианта, но при плюсовании в отрицательную сторону мы попросту переносим ноль, что аналогично прибавлению к положительной стороне), то в арифметике треугольной нам следует для каждой операции задавать направление действия - к какой стороне мы будем прикладывать очередную единицу.
Рассмотрим для начала вариант, когда мы в процессе прибавления не пересекаем метаноль (как в линейной не прибавляли бы отрезок с отрицательной стороны). Тогда у нас есть два варианта на каждую операцию, и мы не можем просто записать 1+1+1+1 - нам надо для каждой из единиц (кроме первой) указать место, куда её приткнуть. Что возвращает нас к представлению треугольного числа в виде ветвящегося дерева - графу с трёхсвязными вершинами.
Для умножения же как для операции повторения прибавления счётное количество раз ситуация ещё сложнее. Фактически, нам нужно задать алгоритм, в котором порядок прибавления как-то регулировался бы. Например, мы можем задать умножение как прибавление несколько раз без изменения полярности (т.е. постоянно прибавляем треугольники к последнему треугольнику, допустим, по часовой стрелке). Тогда мы после 5 таких операций придём к правильному 6-угольнику, занимающему одну треть начала координат.
Если мы зададим умножение с поочерёдной сменой полярности, то получим растущую «змейку» вдоль метаноля (у нас будет то трапеция, то параллелепипед шириной в один треугольник).
А можно задать умножение как прибавление единицы к каждой из трёх сторон каждый раз. Тогда мы получил ряд растущих «крепких» треугольных чисел. И ноль можно сдвигать каждый раз, как мы это делаем в линейной арифметике.
В общем, есть уже три варианта операции умножения. Правильного среди них нет - все имеют место быть :)
Чёй-то меня поперло :)