Теория множеств
По местным текстам это не очень заметно, но автор этого блога профессиональный математик, и этот пост в виде исключения как раз про математику, или скорее про философию математики. К тому же 14 января - всемирный день логики.
Излагая новым поколениям сапиенсов теорию множеств, каждый раз приходится как-то объяснять, что же математики понимают под множествами вообще, и нельзя сказать, что эти объяснения часто оказываются удовлетворительными. Можно приводить примеры конкретных множеств, но множества вообще - предмет достаточно мутный. В таких случаях уместно упомянуть про наивную теорию множеств, сказать про её парадоксы, и как эти парадоксы решаются в рамках аксиоматических теорий - но аксиоматические теории не дают ответа на исходный вопрос. Они только указывают на некоторые важные и полезные свойства множеств. Предложение работать в произвольной модели ZFC по сути является уходом от ответа, так как моделей много, и к тому же некоторые устроены довольно странно.
Возможно, наилучшее определение множества звучит так: это достаточно маленькая совокупность объектов, обладающая чётким критерием, который указывает, какие объекты принадлежат данной совокупности, а какие нет. Объекты, в свою очередь, тоже должны быть множествами (в рамках теории множеств не существует ничего, кроме множеств).
Подразумевается, например, что если А является достаточно маленькой совокупностью, то и множество подмножеств P(A) тоже достаточно мало. Это обеспечивает замкнутость класса множеств относительно стандартных конструкций.
При этом само понятие "достаточно маленький" не может быть точно формализовано, что и объясняет отсутствие у нас строго формального определения множества. Более того, разные математики могут под "достаточно маленькой совокупностью" понимать разные вещи, что хорошо объясняет неполноту ZFC. Кто-то может считать первый недостижимый кардинал достаточно маленьким и включать его в класс множеств, а кто-то нет. ZFC фиксирует те свойства множеств, относительно которых среди (большинства) математиков существует консенсус.
Отсутствие строгого определения "достаточно маленькой совокупности" объясняет, почему класс всех множеств V сам не является множеством: у него нет чёткого критерия принадлежности. Не обязательно применять для этого технические хитрости, связанные с парадоксом Рассела (который сам легко выводится из предположения, что P(V) является подмножеством V).
Аксиому регулярности можно рассматривать как логическое следствие требования "чёткого критерия принадлежности". Если, например, X является элементом множества X, то критерий принадлежности к X уже должен включать в себя само X, что создаёт логический круг. Указывая, какие элементы входят в X, мы уже упоминаем X, хотя пока определение ещё не закончено, X не определён и не существует.
Конечно, совокупность стандартных натуральных чисел подпадает под оба признака, и малости, и чёткости, и тем самым является множеством. Проблема нестандартных чисел, известная язва теорий первого порядка, является псевдопроблемой.
Выскажем смелую гипотезу, что Г.Кантор мог держать в голове именно это определение, но не счёл нужным высказать его прямо. Наивная теория множеств в таком виде вполне работоспособна, и не содержит известных парадоксов.
Излагая новым поколениям сапиенсов теорию множеств, каждый раз приходится как-то объяснять, что же математики понимают под множествами вообще, и нельзя сказать, что эти объяснения часто оказываются удовлетворительными. Можно приводить примеры конкретных множеств, но множества вообще - предмет достаточно мутный. В таких случаях уместно упомянуть про наивную теорию множеств, сказать про её парадоксы, и как эти парадоксы решаются в рамках аксиоматических теорий - но аксиоматические теории не дают ответа на исходный вопрос. Они только указывают на некоторые важные и полезные свойства множеств. Предложение работать в произвольной модели ZFC по сути является уходом от ответа, так как моделей много, и к тому же некоторые устроены довольно странно.
Возможно, наилучшее определение множества звучит так: это достаточно маленькая совокупность объектов, обладающая чётким критерием, который указывает, какие объекты принадлежат данной совокупности, а какие нет. Объекты, в свою очередь, тоже должны быть множествами (в рамках теории множеств не существует ничего, кроме множеств).
Подразумевается, например, что если А является достаточно маленькой совокупностью, то и множество подмножеств P(A) тоже достаточно мало. Это обеспечивает замкнутость класса множеств относительно стандартных конструкций.
При этом само понятие "достаточно маленький" не может быть точно формализовано, что и объясняет отсутствие у нас строго формального определения множества. Более того, разные математики могут под "достаточно маленькой совокупностью" понимать разные вещи, что хорошо объясняет неполноту ZFC. Кто-то может считать первый недостижимый кардинал достаточно маленьким и включать его в класс множеств, а кто-то нет. ZFC фиксирует те свойства множеств, относительно которых среди (большинства) математиков существует консенсус.
Отсутствие строгого определения "достаточно маленькой совокупности" объясняет, почему класс всех множеств V сам не является множеством: у него нет чёткого критерия принадлежности. Не обязательно применять для этого технические хитрости, связанные с парадоксом Рассела (который сам легко выводится из предположения, что P(V) является подмножеством V).
Аксиому регулярности можно рассматривать как логическое следствие требования "чёткого критерия принадлежности". Если, например, X является элементом множества X, то критерий принадлежности к X уже должен включать в себя само X, что создаёт логический круг. Указывая, какие элементы входят в X, мы уже упоминаем X, хотя пока определение ещё не закончено, X не определён и не существует.
Конечно, совокупность стандартных натуральных чисел подпадает под оба признака, и малости, и чёткости, и тем самым является множеством. Проблема нестандартных чисел, известная язва теорий первого порядка, является псевдопроблемой.
Выскажем смелую гипотезу, что Г.Кантор мог держать в голове именно это определение, но не счёл нужным высказать его прямо. Наивная теория множеств в таком виде вполне работоспособна, и не содержит известных парадоксов.
