Физик vs. математик
Недавно я наблюдал, как студенты подходят к решению одной простой задачи, предлагаемой в курсе астрофизики. Требуется оценить время коллапса межзвездного пылевого облака массы M и радиуса R в предположении, что облако достаточно разреженное, момент количества движения равен нулю, и коллапс происходит только под действием самогравитации и сферически симметрично.
Оказывается, студенты-физики и студенты-математики совершенно по-разному подходят к решению.
Как решает эту задачу математик?
Он берет пробную частицу на внешней границе облака и, используя факт сферической симметрии, пишет уравнение её движения:
Где M - масса облака. Затем он принимается решать получившееся уравнение.
Пусть первоначальный радиус облака - R. Из условия V(R) = 0 следует, что: C1 = -C0/R.
Теперь уравнение приобретает следующий вид:
Время падения пробной частицы можно выразить интегралом:
Теперь сделаем подстановку:
Тогда:
Что делает физик?
Он тоже обращает внимание на сферическую симметрию задачи и понимает, что она эквивалентна задаче вычисления времени падения пробной частицы на точечную массу. «Ага! - говорит он. - А ведь это не что иное, как классическая задача двух тел!» После этого физик вспоминает третий закон Кеплера, из которого следует, что орбитальные периоды двух тел равны, если равны большие полуоси их орбит. А что такое падение тела на точечную массу, как не вырожденная кеплеровская орбита с эксцентриситетом 1?
Тогда время падения будет равно половине орбитального периода. А орбитальный период у такого тела будет таким же, как орбитальный период тела, находящегося на круговой орбите половинного радиуса. Ему остается вычислить этот орбитальный период:
Время падения равно половине периода, откуда:
Оказывается, студенты-физики и студенты-математики совершенно по-разному подходят к решению.
Как решает эту задачу математик?
Он берет пробную частицу на внешней границе облака и, используя факт сферической симметрии, пишет уравнение её движения:
Где M - масса облака. Затем он принимается решать получившееся уравнение.
Пусть первоначальный радиус облака - R. Из условия V(R) = 0 следует, что: C1 = -C0/R.
Теперь уравнение приобретает следующий вид:
Время падения пробной частицы можно выразить интегралом:
Теперь сделаем подстановку:
Тогда:
Что делает физик?
Он тоже обращает внимание на сферическую симметрию задачи и понимает, что она эквивалентна задаче вычисления времени падения пробной частицы на точечную массу. «Ага! - говорит он. - А ведь это не что иное, как классическая задача двух тел!» После этого физик вспоминает третий закон Кеплера, из которого следует, что орбитальные периоды двух тел равны, если равны большие полуоси их орбит. А что такое падение тела на точечную массу, как не вырожденная кеплеровская орбита с эксцентриситетом 1?
Тогда время падения будет равно половине орбитального периода. А орбитальный период у такого тела будет таким же, как орбитальный период тела, находящегося на круговой орбите половинного радиуса. Ему остается вычислить этот орбитальный период:
Время падения равно половине периода, откуда: