> Рекомендую к просмотру материалы по "математике младенцев" и если читаете по-английски, могу дать ссылки. По всей видимости, математика начинается где-то в утробе.
Конечно читаю, давайте ссылки.
> пространства сильно зависят от социальной среды. Есть хорошая линза для этого вопроса: разделение человеческих свойств на universals/nonuniversals, универсальные для всех культур и нет. Например, язык универсален, улыбки как выражение радости и довольства универсальны, распознавание количеств до пяти визуально универсально, игры универсальны. А вот математика и научный метод не универсальны: у некоторых культур их нет. И пространства у этих культур сильно другие.
Как раз об этом спорят в ≈130 комментариях к этому посту. Я уже высказал всё, что я имею сказать, по этому поводу в первом комментарии этого треда и в самом посте. «От культурно-языковой традиции зависит то, какие именно характеристики и соответствующие им пространства выделяют люди. Будучи же выделенными и снабжёнными чёткими определениями, эти пространства приобретают универсальность.» «Если два разных человека независимо изучают одно и то же пространство, их выводы будут идентичны. Единственная сложность в том, чтобы подразумевать под одинаковыми словами одинаковые вещи [..]»
В тех комментариях народ от философии с достойным лучшего применения упорством не может понять разницы между самой по себе математикой и деятельностью математиков. Деятельность математиков, конечно же, целиком погружена в языковой контекст, подчинена какой-то этике и социальной логике и так далее. Только это имеет к математике per se ненамного больше отношения, чем питание и стул строителей к возводимому ими зданию.
> К этому разговору очень пригодилась бы теория метафор (Lakoff, Nunes). Каким образом пригодилась бы?
Вы считаете, что есть объективная, "сама по себе" математика. Это один из нескольких возможных подходов к философии математики. Другой из возможных подходов - что математика рукотворна, часть культуры и таким образом зависит от социальной среды. Эта беседа старая, длинная и развесистая, я в нее уже наигралась, но продолжать эти обсуждения надо, хотя бы из соображений непрерывности важных тем из поколения в поколение, переосмысления их на новых уровнях. Вот длинный список "измов" и их разных подходов к этому и другим вопросам: http://en.wikipedia.org/wiki/Philosophy_of_mathematics Несколько из Ваших высказываний похожи на платонизм, но я ни в коем случае не хочу "диагностировать по юзерпику" - лучше почитать подробней и потом уже самому выбрать себе философию из существующих, или новую смешать.
~*~*~*~*~* Теория метафор привязана тем, что они генераторы математики. Некоторые из них универсальны, например, часть пространственных метафор (близко-далеко, внутри-снаружи). Некоторые же зависят от культуры, скажем, у некоторых будущее впереди, у других позади (неуниверсальные пространственные метафоры), в некоторых культурах нет сильной завязки на углы - там только кривые, и так далее. Ну, и непосредственно к разговору о младенцах и их математике, и откуда она берется.
> Про "народ от философии" - предлагаю разделять несогласие и непонимание.
У меня создалось впечатление, что там во-многом именно непонимание, а не несогласие. Посмотрите тред как-нибудь на досуге, если времени не жалко. Там, правда, уже дело далеко зашло. Участница от семиотики признала, что в её терминах вселенная - это язык, и дала столь общее определение языка, что словом «язык» можно заменять любое существительное. Кроме отглагольных; их нужно заменять словом «этика». Одним словом, специалист подобен флюсу.
> Вы считаете, что есть объективная, "сама по себе" математика. Вопрос несколько общее. Я считаю, что существует некоторая реальность в отрыве от людей. Этого необходимое и достаточное условие, чтобы считать, что бывают некие свойства реальности, совершенно независимые от того, замечают их люди племени Пирахи или нет. Один из таких фактов это например то, что в игре крестики-нолики на поле 3х3 игрок за крестики всегда может избежать проигрыша. Кто не верит в математические доказательства, может поиграть quantum satis за нолики с тем, кто знает как играть за крестики правильно, и убедиться в эмпирической обоснованности этого факта. Математика состоит из таких фактов. Скажите на милость, какая у этих фактов зависимость от культуры?
Подчёркиваю ещё раз: как этот факт открыт, кем доказан, на каком языке сформулирован, записан ли где-то - это всё относится к деятельности математиков, не к математике как таковой. К математике относится только сам этот факт. И математике плевать на то, известен ли он людям племени Пирахи и известны ли им вообще понятия «крестик», «нолик» и «игра».
> Другой из возможных подходов - что математика рукотворна, часть культуры и таким образом зависит от социальной среды. Да вот бывает такое сплошь и рядом, что рукотворный продукт отделим истории своего создания.
Я посмотрела тред и заключила, что там нескогласие, основанное во многом взаимо-непонимании теоретических основ друг друга. При этом мой волшебный хрустальный шарик предсказывает, что даже если люди в основах наук и аксиоматиках друг друга подкованней будут, несогласие останется. То есть, если коротко - да :-)
"Я считаю, что существует некоторая реальность в отрыве от людей" - понятно, бесспорно. Внимание, вопрос: математика принадлежит к такой реальности? Целиком, частично, вообще не? Вот с этого места и расходятся дорожки многих "измов".
Например, некоторые считают, что математика состоит не из фактов, а из теорий, построенных над фактами (или над вымыслами). Или из методов доказательств теорий. В этом отличие, скажем, математики от арифметики (которая таки из фактов состоит). Для того, чтоб проследить зависимость теорий и доказательств от культур, можно обратиться к истории, скажем, теорий о том, что такое "число" или "множество" и как в разных культурах и традициях доказывают, что 2*2=4. Я вот не далее как на этой неделе рецензировала приятную статью с красивым доказательством, основанным на оригинальной, чисто геометрической аксиоматике. А доказательство из абстрактной теории множеств в свое время поразило меня, во многом длиной!
Или можно обратиться к современным событиям - считать ли то, что сделали на компьютерах с теоремой о четырех цветах на карте, доказательством? Мнения расходятся, многое неясно.
> Я вот не далее как на этой неделе рецензировала приятную статью с красивым доказательством, основанным на оригинальной, чисто геометрической аксиоматике.
Математические факты состоят не в том, что что-то верно, а в том, что что-то следует из такого-то набора постулатов. Упомянутый выше факт, что крестики всегда могут избежать проигрыша в крестиках-ноликах верен в рамках правил игры крестики-нолики, заранее недвусмысленно сформулированных.
> Мнения расходятся, многое неясно. Среди людей, не понаслышке знающих, что такое математика, я ни разу не встречал расхождений конкретно по этому вопросу.
> Несколько из Ваших высказываний похожи на платонизм, но я ни в коем случае не хочу "диагностировать по юзерпику" - лучше почитать подробней и потом уже самому выбрать себе философию из существующих, или новую смешать.
Не, на классический платонизм моя позиция точно не похожа. Я не очень ориентируюсь в терминологии, но по-моему, мой подход к онтологии математических утверждений и доказательств называется дедуктивизмом, это такой подвид формализма. Компилируя Википедию, “Mathematical statements may be thought of as statements about the consequences of certain string manipulation rules. For example, in the "game" of Euclidean geometry (which is seen as consisting of some strings called "axioms", and some "rules of inference" to generate new strings from given ones), one can prove that the Pythagorean theorem holds (that is, you can generate the string corresponding to the Pythagorean theorem). The Pythagorean theorem is not an absolute truth, but a relative one: if you assign meaning to the strings in such a way that the rules of the game become true (i.e., true statements are assigned to the axioms and the rules of inference are truth-preserving), then you have to accept the theorem, or, rather, the interpretation you have given it must be a true statement. The same is held to be true for all other mathematical statements. Thus, formalism need not mean that mathematics is nothing more than a meaningless symbolic game. It is usually hoped that there exists some interpretation in which the rules of the game hold.”
Соответственно, вопросы мотивации и интерпретации формальных абстракций оставляется дедуктивизмом за скобками. По этой части я эмпирицист. Мне неизвестно в математике ни одной области, не касаюейся понятий алгоритма, преобразования, числа или пространства, а все эти понятия, как я попытался описать примере пространства в посте выше, эмпирического происхождения. Тут мне очень созвучны подход Сандерса Маклейна и тексты Ўилларда Квайна, которые мне давали знакомые студенты-философы. Кажется, это называется эмпирио-структурализм, но я, опять же, ничерта не разбираюсь в названиях.
Возможно, этот анализ пригодится в ветке с семиотиками и филисофами, но, возможно, и не пригодится. Спасибо еще раз за интересные идеи, продолжайте такие популяризации, это сейчас очень важно и востребованно.
У меня очень утилитарное отношение к философии. Очень люблю вот этот императив Айн Рэнд:
“Философия - не забава для ума, у вас нет выбора в необходимости превращать наблюдения, опыт и знания в абстрактные идеи, то есть - в принципы. Единственный выбор в том, будут ли эти принципы справедливы или ошибочны, рациональны или иррациональны; последовательны или противоречивы. [...] Ваш единственный выбор в том, вырабатывать ли свою философию путём сознательного, рационального, дисциплинированного мышления и скрупулёзного обдумывания, или же бессознательно собирать хаотичную кучу непроверенных выводов, ошибочных обобщений, неопределённых противоречий, необдуманных слоганов, подспудных желаний, сомнений и страхов. И тогда, слипшись в бессистемную философию-дворнягу, все эти случайные лоскутки, повиснут тяжелым грузом бесконечного сомнения в том самом месте, где должны были вырасти крылья вашего разума.”
Конечно читаю, давайте ссылки.
> пространства сильно зависят от социальной среды. Есть хорошая линза для этого вопроса: разделение человеческих свойств на universals/nonuniversals, универсальные для всех культур и нет. Например, язык универсален, улыбки как выражение радости и довольства универсальны, распознавание количеств до пяти визуально универсально, игры универсальны. А вот математика и научный метод не универсальны: у некоторых культур их нет. И пространства у этих культур сильно другие.
Как раз об этом спорят в ≈130 комментариях к этому посту. Я уже высказал всё, что я имею сказать, по этому поводу в первом комментарии этого треда и в самом посте.
«От культурно-языковой традиции зависит то, какие именно характеристики и соответствующие им пространства выделяют люди. Будучи же выделенными и снабжёнными чёткими определениями, эти пространства приобретают универсальность.»
«Если два разных человека независимо изучают одно и то же пространство, их выводы будут идентичны. Единственная сложность в том, чтобы подразумевать под одинаковыми словами одинаковые вещи [..]»
В тех комментариях народ от философии с достойным лучшего применения упорством не может понять разницы между самой по себе математикой и деятельностью математиков. Деятельность математиков, конечно же, целиком погружена в языковой контекст, подчинена какой-то этике и социальной логике и так далее. Только это имеет к математике per se ненамного больше отношения, чем питание и стул строителей к возводимому ими зданию.
> К этому разговору очень пригодилась бы теория метафор (Lakoff, Nunes).
Каким образом пригодилась бы?
Reply
http://www.amazon.com/Number-Sense-Creates-Mathematics-Revised/dp/0199753873/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1301233861&sr=1-1
http://www.amazon.com/s/ref=ntt_athr_dp_sr_pop_1?_encoding=UTF8&sort=relevancerank&search-alias=books&field-author=Alison%20Gopnik
Это можно найти в обзорах и Google Books, Google Scholar в виде статей, особенно Dehaene.
Duke University много чего исследует на тему, например, http://www.dukenews.duke.edu/2006/02/brannonjordanpnas.html
~*~*~*~*~*
Про "народ от философии" - предлагаю разделять несогласие и непонимание.
Вы считаете, что есть объективная, "сама по себе" математика. Это один из нескольких возможных подходов к философии математики. Другой из возможных подходов - что математика рукотворна, часть культуры и таким образом зависит от социальной среды. Эта беседа старая, длинная и развесистая, я в нее уже наигралась, но продолжать эти обсуждения надо, хотя бы из соображений непрерывности важных тем из поколения в поколение, переосмысления их на новых уровнях. Вот длинный список "измов" и их разных подходов к этому и другим вопросам: http://en.wikipedia.org/wiki/Philosophy_of_mathematics Несколько из Ваших высказываний похожи на платонизм, но я ни в коем случае не хочу "диагностировать по юзерпику" - лучше почитать подробней и потом уже самому выбрать себе философию из существующих, или новую смешать.
~*~*~*~*~*
Теория метафор привязана тем, что они генераторы математики. Некоторые из них универсальны, например, часть пространственных метафор (близко-далеко, внутри-снаружи). Некоторые же зависят от культуры, скажем, у некоторых будущее впереди, у других позади (неуниверсальные пространственные метафоры), в некоторых культурах нет сильной завязки на углы - там только кривые, и так далее. Ну, и непосредственно к разговору о младенцах и их математике, и откуда она берется.
http://en.wikipedia.org/wiki/Where_Mathematics_Comes_From
Reply
> Про "народ от философии" - предлагаю разделять несогласие и непонимание.
У меня создалось впечатление, что там во-многом именно непонимание, а не несогласие. Посмотрите тред как-нибудь на досуге, если времени не жалко. Там, правда, уже дело далеко зашло. Участница от семиотики признала, что в её терминах вселенная - это язык, и дала столь общее определение языка, что словом «язык» можно заменять любое существительное. Кроме отглагольных; их нужно заменять словом «этика». Одним словом, специалист подобен флюсу.
> Вы считаете, что есть объективная, "сама по себе" математика.
Вопрос несколько общее. Я считаю, что существует некоторая реальность в отрыве от людей. Этого необходимое и достаточное условие, чтобы считать, что бывают некие свойства реальности, совершенно независимые от того, замечают их люди племени Пирахи или нет. Один из таких фактов это например то, что в игре крестики-нолики на поле 3х3 игрок за крестики всегда может избежать проигрыша. Кто не верит в математические доказательства, может поиграть quantum satis за нолики с тем, кто знает как играть за крестики правильно, и убедиться в эмпирической обоснованности этого факта. Математика состоит из таких фактов. Скажите на милость, какая у этих фактов зависимость от культуры?
Подчёркиваю ещё раз: как этот факт открыт, кем доказан, на каком языке сформулирован, записан ли где-то - это всё относится к деятельности математиков, не к математике как таковой. К математике относится только сам этот факт. И математике плевать на то, известен ли он людям племени Пирахи и известны ли им вообще понятия «крестик», «нолик» и «игра».
> Другой из возможных подходов - что математика рукотворна, часть культуры и таким образом зависит от социальной среды.
Да вот бывает такое сплошь и рядом, что рукотворный продукт отделим истории своего создания.
Reply
"Я считаю, что существует некоторая реальность в отрыве от людей" - понятно, бесспорно. Внимание, вопрос: математика принадлежит к такой реальности? Целиком, частично, вообще не? Вот с этого места и расходятся дорожки многих "измов".
Например, некоторые считают, что математика состоит не из фактов, а из теорий, построенных над фактами (или над вымыслами). Или из методов доказательств теорий. В этом отличие, скажем, математики от арифметики (которая таки из фактов состоит). Для того, чтоб проследить зависимость теорий и доказательств от культур, можно обратиться к истории, скажем, теорий о том, что такое "число" или "множество" и как в разных культурах и традициях доказывают, что 2*2=4. Я вот не далее как на этой неделе рецензировала приятную статью с красивым доказательством, основанным на оригинальной, чисто геометрической аксиоматике. А доказательство из абстрактной теории множеств в свое время поразило меня, во многом длиной!
Или можно обратиться к современным событиям - считать ли то, что сделали на компьютерах с теоремой о четырех цветах на карте, доказательством? Мнения расходятся, многое неясно.
Reply
Математические факты состоят не в том, что что-то верно, а в том, что что-то следует из такого-то набора постулатов. Упомянутый выше факт, что крестики всегда могут избежать проигрыша в крестиках-ноликах верен в рамках правил игры крестики-нолики, заранее недвусмысленно сформулированных.
> Мнения расходятся, многое неясно.
Среди людей, не понаслышке знающих, что такое математика, я ни разу не встречал расхождений конкретно по этому вопросу.
Reply
Не, на классический платонизм моя позиция точно не похожа. Я не очень ориентируюсь в терминологии, но по-моему, мой подход к онтологии математических утверждений и доказательств называется дедуктивизмом, это такой подвид формализма. Компилируя Википедию,
“Mathematical statements may be thought of as statements about the consequences of certain string manipulation rules. For example, in the "game" of Euclidean geometry (which is seen as consisting of some strings called "axioms", and some "rules of inference" to generate new strings from given ones), one can prove that the Pythagorean theorem holds (that is, you can generate the string corresponding to the Pythagorean theorem). The Pythagorean theorem is not an absolute truth, but a relative one: if you assign meaning to the strings in such a way that the rules of the game become true (i.e., true statements are assigned to the axioms and the rules of inference are truth-preserving), then you have to accept the theorem, or, rather, the interpretation you have given it must be a true statement. The same is held to be true for all other mathematical statements. Thus, formalism need not mean that mathematics is nothing more than a meaningless symbolic game. It is usually hoped that there exists some interpretation in which the rules of the game hold.”
Соответственно, вопросы мотивации и интерпретации формальных абстракций оставляется дедуктивизмом за скобками. По этой части я эмпирицист. Мне неизвестно в математике ни одной области, не касаюейся понятий алгоритма, преобразования, числа или пространства, а все эти понятия, как я попытался описать примере пространства в посте выше, эмпирического происхождения. Тут мне очень созвучны подход Сандерса Маклейна и тексты Ўилларда Квайна, которые мне давали знакомые студенты-философы. Кажется, это называется эмпирио-структурализм, но я, опять же, ничерта не разбираюсь в названиях.
Reply
Reply
“Философия - не забава для ума, у вас нет выбора в необходимости превращать наблюдения, опыт и знания в абстрактные идеи, то есть - в принципы. Единственный выбор в том, будут ли эти принципы справедливы или ошибочны, рациональны или иррациональны; последовательны или противоречивы. [...] Ваш единственный выбор в том, вырабатывать ли свою философию путём сознательного, рационального, дисциплинированного мышления и скрупулёзного обдумывания, или же бессознательно собирать хаотичную кучу непроверенных выводов, ошибочных обобщений, неопределённых противоречий, необдуманных слоганов, подспудных желаний, сомнений и страхов. И тогда, слипшись в бессистемную философию-дворнягу, все эти случайные лоскутки, повиснут тяжелым грузом бесконечного сомнения в том самом месте, где должны были вырасти крылья вашего разума.”
Reply
Leave a comment