Философия. №8 - Польза от философии.
Заканчивая обзорную часть по основам философии, мечтал окунуться в мир чистой философии и заняться диалектикой. Но жизнь вносит свои коррективы. Оказалось, что не достаточно излагать материал просто - не только сложность является препятствием на пути понимания любого предмета. Часто материал не воспринимается потому, что не понятно - зачем он нужен, в чем от него практическая польза? И даже наглядность не всегда помогает. Что толку в рассуждениях о "бытии" и "сущности"? Что философ может дать музыке, если не будет писать сами произведения? Какая польза от этого бездельника? Лучше бы огород за окном вскопал или дорожки в саду подмел. Есть мнение, что труд из обезьяны сделал человека, может и с философом то же самое получится?
Давайте попробуем провести один умственный эксперимент. Этот эксперимент касается математики. Почему я взял математику? Потому, что она очень похожа на философию - математик так же сидит в кресле с карандашом и блокнотом и так же, как и философ, в итоге выдает такой же головоломный результат. Так же, как и философ, математик лезет в чужие области знания со своими формулами, претендуя на истину. Но, в отличие от философов, мир согласен терпеть математиков, так как именно благодаря математикам мы можем летать на самолетах, пользоваться интернетом и жить в многоэтажных домах. Все знают, что для математиков практическая польза от их деятельности является побочным результатом. Как они сами говорят, - это "мир низких истин". Математик берет свои записки, написанные на "нечеловеческом" языке, и, благодаря этим записям, описывает полет летательного аппарата. Другой возможности описать эту реальность не существует! Мир имеет глубины, не сводимые на бытовое понимание.
Итак, для нашего эксперимента достаточно будет знаний по математике в пределах школы. Мы возьмем только единицу и операцию сложения и посмотрим, что из этого получится. Самая последняя домохозяйка знает, что такое единица - одна луковица, один нож, одно дерево. И любой знает про операцию сложения. Но какой же необычный мир нам откроется! А с каким удивительным миром мы встретимся при занятиях философией! Какими же осмотрительными и осторожными должны мы быть в своих суждениях, если даже такие простые вещи, как единичка и сложение, могут привести к таким последствиям! А что до практической пользы, так она от нас не уйдет, надо только набраться терпения. Но хватит ходить вокруг да около, пора и делом заняться.
Элементарная алгебра.
Единица и операция сложения.
Рассуждения об алгебре удобнее всего начать с самого простого, что есть в математике, - с единицы. Взглянув на окружающий нас мир, мы можем заметить везде единицы, которые нас окружают. Вот дерево - это некая единица или единичность. Лампа, стол, стул - тоже какие-то единицы. Они все разные, но если мы отвлечемся от их различий, то увидим, что объединяет их одна очень важная вещь, которая присутствует решительно во всем, - они все некоторым образом единицы. Однако сразу мы замечаем, что имеем не только единицу. Мы эти единицы можем складывать вместе. Мы можем взять одно яблоко и добавить к нему еще одно яблоко. Или, например, к карандашу добавим шариковую ручку. В этом случае мы не получим двух карандашей или двух ручек, но зато получим две письменные принадлежности или просто - два. Вот это складывание в математике называется операцией сложения. Итак, мы имеем единицу или единицы и операцию между ними - сложение. Что же из этого добра может у нас получиться? Очень даже много чего.
Уравнение, целые числа и переменные.
Выше мы уже заметили, что если взять единицу и сложить ее с другой единицей, мы получим две единицы. Но то, что мы описали, получается очень длинно, поэтому, для краткости, математики придумали свой отдельный язык. Так, операция сложения двух единиц будет выглядеть следующим образом: 1 + 1 = 2. Эта форма записи получила название - уравнение. В этом уравнении мы видим две наших единички, значок "+", обозначающий операцию между ними - сложение, двойку, которая получается в итоге и знак равенства "=", который говорит о том, что сумма двух единичек равна двойке. Попробуем получить еще какие-нибудь уравнения? Что будет, если к двум единицам добавить еще одну? Получится тройка и запишется это так: 1 + 1 + 1 = 3. А дальше будет четверка, пятерка и т.д. Таких чисел существует очень много! И всякий раз, сколько бы мы ни прибавляли единиц, мы получим новое число. И эти числа принято называть целыми числами. Итак, кроме единицы, мы получили новое понятие - целое число. И выяснили, что оно состоит из единиц. До сих пор мы складывали друг с другом только единицы, но ясно, что мы можем складывать и целые числа между собой. Так, вместо длинной записи 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5, мы можем написать 2 + 3= 5. Но всякий раз писать конкретные целые числа тоже не всегда удобно - их же очень много! Поэтому в уравнении вместо целых чисел можно подставить буквы: a + b = c. Здесь буквы a, b и c означают какие-то целые числа. Так, если a будет равно 2 и b будет равно 3, то c будет равно 5. Поскольку буквы могут принимать любое значение, их принято называть переменными.
Операции умножения и возведения в степень.
А что будет, если одно и то же число мы сложим несколько раз? Например, двойку мы сложим три раза: 2 + 2 + 2 = 6. Но так писать очень не удобно - что, если бы двойку нам надо было сложить пятнадцать раз? В этом случае мы бы получили очень длинную строчку из двоек и плюсиков. Чтобы этого всего не писать, мы введем новую операцию - умножение, и обозначим ее так: 2 * 3 = 6 (вместо плюсиков теперь только одна звездочка). Это уравнение означает, что двойку мы сложили три раза. А что, если одно и то же число мы захотим умножить несколько раз? В этом случае мы получим возведение в степень. И вместо уравнения 2 * 2 * 2 = 8, мы получим уравнение 23 = 8, т.е. три раза мы умножили двойку на саму себя. Эти новые операции мы ввели не только из-за удобства записи. У этих операций очень необычные свойства, отличные от свойств операции сложения. И в этом мы скоро убедимся.
Базовые соотношения операций сложения, умножения и возведения в степень. Новое число - ноль.
Используя переменные, можно легко убедиться в истинности следующих соотношений:
a + b = b + a11(a + b) + c = a + (b + c)2a * b = b * a3a * (b + c) = a * b + a * c4(a * b) * c = a * (b * c)5(a * b)c = ac * bc6ab * ac = a(b+c)7(ab)c = a(b*c)8a * 1 = a9a1 = a10a + 0 = a11a * 0 = 012a0 = 113
Обратите внимание на пять последних уравнений. Это особые случаи и на них мы остановимся чуть подробнее. Мы уже говорили, что умножение - это операция сложения одного и того же числа несколько раз и обозначается она как a * b = c. Т.е. число a мы складываем b раз. Если бы b было равно двойке, это означало бы, что a мы берем два раза (a + a = a * 2), но если b равно единице, то это значит, что a мы берем только один раз. Или, другими словами, a мы складываем с собой ноль раз (a = a * 1). Мы открыли новое число! Которое обозначается символом "0". То же самое и возведение в степень единицы - это умножение числа ноль раз (a = a1). Но если мы открыли этот ноль, то что будет, если мы любое целое число сложим с нулем? Это означает, что к числу мы не прибавили ничего, - ни единицы, ни двойки, ни тройки, - ничего. Т.е. мы оставили число как оно есть: a + 0 = a. А что означает умножение на ноль? Мы уже говорили о том, что умножение числа на единицу, это значит взять число один раз. Умножение числа на ноль, значит взять число ноль раз, т.е. не взять его вовсе! Это и означает a * 0 = 0. Возвести в степень ноль, значит ни разу не умножить число на само себя. Чему будет равно число, возведенное в нулевую степень? Нам уже известно, что a0 * a1 = a(0+1) (1.7). В итоге получаем соотношение a0 * a1 = a1, т.е. a0 = 1. Таким образом, любое число, возведенное в нулевую степень, равно единице.
Обратные операции.
Мы уже умеем отвечать на вопрос: сколько будет, если к 2 прибавить 3? Мы получим 5. Но до сих пор мы не задавались другим вопросом: сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 5? Правильным ответом будет - три. Но как получить это число? Пока у нас есть только операция сложения, единственным выходом будет перебор всех возможных чисел. Сначала прибавим к 2 единицу и получим 3. Но нам надо 5, а не 3, значит единица не годится. Теперь к 2 прибавим двойку и опять не получим 5. Наконец, прибавив к 2 тройку, мы и получим искомый результат. Но перебор чисел очень тяжелая и трудоемкая работа. Правильнее из пятерки вычесть двойку! С помощью этой операции мы сразу получаем тройку: 3 = 5 - 2 или так b = c - a. Вычитание - это операция, обратная сложению. Так же проста и операция деления: если a * b = c, то b = c / a. Это решение уравнения a * b = c "задом наперед". А какая будет обратная операция для возведения в степень? Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим внимательнее на соотношения (1). Из них мы видим, что операции сложения и умножения позволяют числа менять местами, т.е. a + b = b + a (1.1) и a * b = b * a (1.3). Но для степенных уравнений ab не равна ba. В этом легко убедиться, если взять a=2 и b=3 (23 = 8; 32 = 9). Это означает, что для степенной функции существует не одна, а целых две обратных функции. В одном случае мы должны ответить на вопрос: в какую степень надо возвести двойку, чтобы получилась восьмерка? Для этого мы должны взять логарифм из 8 по основанию 2: 3 = log2(8). В другом случае, возможен другой вопрос: какое число, будучи возведенным в третью степень, дает 8? Тогда мы должны взять корень кубический из 8: 2 = 3√8.
Выпишем все прямые и обратные операции:
а) сложение
a + b = cа') вычитание
b = c - a12б) умножение
a * b = cб') деление
b = c / a2в) возведение в степень
ab = cв') извлечение корня
a = b√c3г) возведение в степень
ab = cг') взятие логарифма
b = logac4
Целые отрицательные числа.
Изучая свойства наших новых функций, мы довольно быстро можем натолкнуться на новые неразрешимые вопросы. Пример на вычитание. Чему будет равно b в уравнении b = 2 - 5 ? В соответствии с определением операции вычитания, нам необходимо найти такое число, которое дает 3, если к нему добавить 5. Перебрав все целые положительные числа (а мы пока знаем только эти числа), мы придем к выводу, что задача не решается. Однако можно сделать то, что потом станет системой, великой идеей: наткнувшись на неразрешимую задачу, надо сначала отойти в сторону, а затем обобщить. Забудем о первоначальных определениях сложения и умножения (которые мы формулировали только для целых положительных чисел), но сохраним правила (1) и (2), и предположим, что они верны вообще не только для целых положительных чисел, а для более широкого класса чисел. Раньше мы использовали символы, чтобы вывести правила; теперь же правила будут определять символы, а символы будут представителями каких-то более общих чисел. Манипулируя правилами, можно показать, что 3 - 5 = 0 - 2. Давайте определим новые числа: 0-1, 0-2, 0-3 и т.д. (или просто -1, -2, -3) и назовем их целыми отрицательными числами. Теперь мы сможем решить все задачи на вычитание! Легко убедиться, что и другие правила группы (1) верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.
Мы значительно расширили область действия наших правил, но достигли этого ценой изменения смысла символов. Уже нельзя, например, сказать, что умножить 5 на -2 - значит сложить пять минус два раза. Эта фраза бессмысленна. Тем не менее, пользуясь правилами, мы всегда получим верный результат.
Правда, возведение в степень опять ставит перед нами проблемы. Кто-нибудь обязательно захочет узнать, что означает символ а(3-5). Мы знаем, что (3 - 5) это решение уравнения (3 - 5) + 5 = 3. Следовательно, мы знаем, что а(3-5) * a5 = a3. Разделив обе части уравнения на a5, получим следующее уравнение: а(3-5) = a3 / a5. Еще одно усилие, и вот окончательный результат: а(3-5) = 1 / a2. Таким образом, мы установили, что возведение числа в отрицательную степень сводится к делению единицы на число, возведенное в положительную степень. Все было бы хорошо, если бы 1/а2 не было бессмысленным символом. Ведь а - это целое положительное или отрицательное число, значит, а2 больше единицы, а мы не умеем делить единицу на числа, большие чем единица!
Рациональные дроби (или рациональные числа).
Система так система. Натолкнувшись на неразрешимую задачу, надо расширить царство чисел. На этот раз нам трудно делить: нельзя найти целого числа ни положительного, ни отрицательного, которое появилось бы в результате деления 3 на 5. Так назовем это и другие подобные ему числа рациональными дробями и предположим, что дроби подчиняются тем же правилам, что и целые числа. Тогда мы сможем оперировать дробями так же хорошо, как и целыми числами.
Вот еще один пример на степень: что такое a3/5? Мы знаем, что (3/5) * 5 = 3, и еще, что (a3/5)5 = a(3/5)5, ибо это одно из правил (1.8). Вспомнив определение корня, мы получим а(3/5) = 5√a3. Определяя таким образом дроби, мы не вводим никакого произвола. Сами правила следят за тем, чтобы подстановка дробей вместо написанных нами символов не была бессмысленной процедурой. Замечательно, что эти правила справляются с дробями так же хорошо, как и с целыми числами (положительными и отрицательными)!
Открывая "новые" числа, мы открываем и новые их свойства, о которых не догадывались раньше. Так, у рациональных дробей есть очень важное свойство, которое нам вскоре пригодится. Легко убедиться в том, что 4/6 = 2/3. При этом видно, что в первой дроби оба числа (4 и 6) имеют общий целый делитель - двойку. А в дроби 2/3 таких общих делителей нет. Дроби, в которых нет общих целых делителей, называются несократимыми.
Иррациональные числа.
Остались ли еще уравнения, которые мы не можем решать? Увы, да. Например, нам не под силу уравнение c = 21/2. Это число больше единицы (т.к. 20 = 1), но меньше двойки (т.к. 21 = 2), поэтому оно не целое. Но может быть это рациональная дробь? Чтобы в этом убедиться, предположим, что a/b = 21/2, где a/b - рациональная несократимая дробь. Это значит, что у a и b нет общего целого делителя. Возведем в квадрат левые и правые части равенства: (a/b)2 = 2, т.е. имеем a2 / b2 = 2. Эту же дробь можно выразить иначе: a2 / 2 = b2. Раз b - целое число, значит a - четное (в противном случае a2 / 2 не делилось бы нацело). Выразим a = c * 2 и подставим в наше уравнение: (c*2)2 / 2 = b2. Пользуясь правилом 1.6, получим c2 * 2 = b2. А это равенство означает, что b - тоже четное число. Но если a и b - четные числа, значит, они имеют общий целый делитель, что противоречит нашему первоначальному условию о том, что дробь a / b несократима. Таким образом, 21/2 не является ни целым числом, ни рациональной дробью. Это уже новый класс чисел - иррациональных.
Комплексные числа.
Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Но, чтобы двигаться дальше, покажем одно важное свойство возведения в степень: при возведении в квадрат положительное и отрицательное число дают один и тот же результат a2 = (-a)2. В этом легко убедиться на простом примере: 3 * 3 = (-3) * (-3) = 9.
Попробуем ответить на вопрос: чему равен квадратный корень из -1? Предположим, что это х, тогда х2=-1. Нет ни рационального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предположим, что уравнение х2=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако мы уже знаем, что уравнение х2=-1 имеет два корня. Другим корнем нашего уравнения будет -i, т.е. противоположное по знаку число i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется верным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам получать новые числа вот так: умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умножения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не нарушая ранее установленных правил. Таким образом, мы приходим к числам, которые можно записать в виде a=p+i*q, или в более краткой форме a=p+iq. Такие числа называют комплексными числами. У этих чисел p и q - числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу - мнимым числом. Обращаться с комплексными числами несложно; например, нам надо вычислить произведение (r+is)(p+iq). Вспомнив о правилах, мы получим:
(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp)
потому что ii=i2=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (1). Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: "Рано говорить об общем выражении, надо еще определить, например, возведение в мнимую степень, а потом можно придумать много алгебраических уравнений, для решения которых потребуются новые числа". В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число - квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Доказательство очень красиво, очень интересно, но далеко не самоочевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожидать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобретение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраического уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или ii- опять те же комплексные числа.
И если мы подробнее позанимаемся с комплексными числами, то натолкнемся на одну из самых удивительных формул математики (она называется формулой Эйлера):
eiq = cos(q) + i*sin(q)
где e - иррациональное число, равное 2.7182818284590452..., а cos(q) и sin(q) - это тригонометрические функции. Так мы получили связь между алгеброй и геометрией. И комплексные числа можно выразить через координаты точки на плоскости. Представим каждое комплексное число в виде x+iy. Если расстояние точки от начала координат обозначить через r, а угол радиуса-вектора точки с осью x - через q, то выражение r(x+iy) можно представить в виде reiq. Это следует из геометрических соотношений между х, у, r и q. Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию!
Заключение.
Начиная эту главу, мы знали только единицу и операцию сложения. Зато у нас была небольшая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические "законы", или свойства чисел, сведенные в уравнения (1), и определения обратных операций (2), мы смогли создать не только новые числа, но и нашли связь между алгеброй и геометрией!
Эта глава называлась "Элементарная алгебра". Значит ли, что есть еще и неэлементарная алгебра? Конечно же есть! И не одна. В таких алгебрах могут не работать уже ставшие для нас привычными такие свойства, как a + b = b + a (свойство коммутативности). А это значит, что нас ждут новые классы чисел...
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Данная лекция является адаптированный вариантом лекции Ричарда Фейнмана.
Давайте попробуем провести один умственный эксперимент. Этот эксперимент касается математики. Почему я взял математику? Потому, что она очень похожа на философию - математик так же сидит в кресле с карандашом и блокнотом и так же, как и философ, в итоге выдает такой же головоломный результат. Так же, как и философ, математик лезет в чужие области знания со своими формулами, претендуя на истину. Но, в отличие от философов, мир согласен терпеть математиков, так как именно благодаря математикам мы можем летать на самолетах, пользоваться интернетом и жить в многоэтажных домах. Все знают, что для математиков практическая польза от их деятельности является побочным результатом. Как они сами говорят, - это "мир низких истин". Математик берет свои записки, написанные на "нечеловеческом" языке, и, благодаря этим записям, описывает полет летательного аппарата. Другой возможности описать эту реальность не существует! Мир имеет глубины, не сводимые на бытовое понимание.
Итак, для нашего эксперимента достаточно будет знаний по математике в пределах школы. Мы возьмем только единицу и операцию сложения и посмотрим, что из этого получится. Самая последняя домохозяйка знает, что такое единица - одна луковица, один нож, одно дерево. И любой знает про операцию сложения. Но какой же необычный мир нам откроется! А с каким удивительным миром мы встретимся при занятиях философией! Какими же осмотрительными и осторожными должны мы быть в своих суждениях, если даже такие простые вещи, как единичка и сложение, могут привести к таким последствиям! А что до практической пользы, так она от нас не уйдет, надо только набраться терпения. Но хватит ходить вокруг да около, пора и делом заняться.
Элементарная алгебра.
Единица и операция сложения.
Рассуждения об алгебре удобнее всего начать с самого простого, что есть в математике, - с единицы. Взглянув на окружающий нас мир, мы можем заметить везде единицы, которые нас окружают. Вот дерево - это некая единица или единичность. Лампа, стол, стул - тоже какие-то единицы. Они все разные, но если мы отвлечемся от их различий, то увидим, что объединяет их одна очень важная вещь, которая присутствует решительно во всем, - они все некоторым образом единицы. Однако сразу мы замечаем, что имеем не только единицу. Мы эти единицы можем складывать вместе. Мы можем взять одно яблоко и добавить к нему еще одно яблоко. Или, например, к карандашу добавим шариковую ручку. В этом случае мы не получим двух карандашей или двух ручек, но зато получим две письменные принадлежности или просто - два. Вот это складывание в математике называется операцией сложения. Итак, мы имеем единицу или единицы и операцию между ними - сложение. Что же из этого добра может у нас получиться? Очень даже много чего.
Уравнение, целые числа и переменные.
Выше мы уже заметили, что если взять единицу и сложить ее с другой единицей, мы получим две единицы. Но то, что мы описали, получается очень длинно, поэтому, для краткости, математики придумали свой отдельный язык. Так, операция сложения двух единиц будет выглядеть следующим образом: 1 + 1 = 2. Эта форма записи получила название - уравнение. В этом уравнении мы видим две наших единички, значок "+", обозначающий операцию между ними - сложение, двойку, которая получается в итоге и знак равенства "=", который говорит о том, что сумма двух единичек равна двойке. Попробуем получить еще какие-нибудь уравнения? Что будет, если к двум единицам добавить еще одну? Получится тройка и запишется это так: 1 + 1 + 1 = 3. А дальше будет четверка, пятерка и т.д. Таких чисел существует очень много! И всякий раз, сколько бы мы ни прибавляли единиц, мы получим новое число. И эти числа принято называть целыми числами. Итак, кроме единицы, мы получили новое понятие - целое число. И выяснили, что оно состоит из единиц. До сих пор мы складывали друг с другом только единицы, но ясно, что мы можем складывать и целые числа между собой. Так, вместо длинной записи 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5, мы можем написать 2 + 3= 5. Но всякий раз писать конкретные целые числа тоже не всегда удобно - их же очень много! Поэтому в уравнении вместо целых чисел можно подставить буквы: a + b = c. Здесь буквы a, b и c означают какие-то целые числа. Так, если a будет равно 2 и b будет равно 3, то c будет равно 5. Поскольку буквы могут принимать любое значение, их принято называть переменными.
Операции умножения и возведения в степень.
А что будет, если одно и то же число мы сложим несколько раз? Например, двойку мы сложим три раза: 2 + 2 + 2 = 6. Но так писать очень не удобно - что, если бы двойку нам надо было сложить пятнадцать раз? В этом случае мы бы получили очень длинную строчку из двоек и плюсиков. Чтобы этого всего не писать, мы введем новую операцию - умножение, и обозначим ее так: 2 * 3 = 6 (вместо плюсиков теперь только одна звездочка). Это уравнение означает, что двойку мы сложили три раза. А что, если одно и то же число мы захотим умножить несколько раз? В этом случае мы получим возведение в степень. И вместо уравнения 2 * 2 * 2 = 8, мы получим уравнение 23 = 8, т.е. три раза мы умножили двойку на саму себя. Эти новые операции мы ввели не только из-за удобства записи. У этих операций очень необычные свойства, отличные от свойств операции сложения. И в этом мы скоро убедимся.
Базовые соотношения операций сложения, умножения и возведения в степень. Новое число - ноль.
Используя переменные, можно легко убедиться в истинности следующих соотношений:
a + b = b + a11(a + b) + c = a + (b + c)2a * b = b * a3a * (b + c) = a * b + a * c4(a * b) * c = a * (b * c)5(a * b)c = ac * bc6ab * ac = a(b+c)7(ab)c = a(b*c)8a * 1 = a9a1 = a10a + 0 = a11a * 0 = 012a0 = 113
Обратите внимание на пять последних уравнений. Это особые случаи и на них мы остановимся чуть подробнее. Мы уже говорили, что умножение - это операция сложения одного и того же числа несколько раз и обозначается она как a * b = c. Т.е. число a мы складываем b раз. Если бы b было равно двойке, это означало бы, что a мы берем два раза (a + a = a * 2), но если b равно единице, то это значит, что a мы берем только один раз. Или, другими словами, a мы складываем с собой ноль раз (a = a * 1). Мы открыли новое число! Которое обозначается символом "0". То же самое и возведение в степень единицы - это умножение числа ноль раз (a = a1). Но если мы открыли этот ноль, то что будет, если мы любое целое число сложим с нулем? Это означает, что к числу мы не прибавили ничего, - ни единицы, ни двойки, ни тройки, - ничего. Т.е. мы оставили число как оно есть: a + 0 = a. А что означает умножение на ноль? Мы уже говорили о том, что умножение числа на единицу, это значит взять число один раз. Умножение числа на ноль, значит взять число ноль раз, т.е. не взять его вовсе! Это и означает a * 0 = 0. Возвести в степень ноль, значит ни разу не умножить число на само себя. Чему будет равно число, возведенное в нулевую степень? Нам уже известно, что a0 * a1 = a(0+1) (1.7). В итоге получаем соотношение a0 * a1 = a1, т.е. a0 = 1. Таким образом, любое число, возведенное в нулевую степень, равно единице.
Обратные операции.
Мы уже умеем отвечать на вопрос: сколько будет, если к 2 прибавить 3? Мы получим 5. Но до сих пор мы не задавались другим вопросом: сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 5? Правильным ответом будет - три. Но как получить это число? Пока у нас есть только операция сложения, единственным выходом будет перебор всех возможных чисел. Сначала прибавим к 2 единицу и получим 3. Но нам надо 5, а не 3, значит единица не годится. Теперь к 2 прибавим двойку и опять не получим 5. Наконец, прибавив к 2 тройку, мы и получим искомый результат. Но перебор чисел очень тяжелая и трудоемкая работа. Правильнее из пятерки вычесть двойку! С помощью этой операции мы сразу получаем тройку: 3 = 5 - 2 или так b = c - a. Вычитание - это операция, обратная сложению. Так же проста и операция деления: если a * b = c, то b = c / a. Это решение уравнения a * b = c "задом наперед". А какая будет обратная операция для возведения в степень? Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим внимательнее на соотношения (1). Из них мы видим, что операции сложения и умножения позволяют числа менять местами, т.е. a + b = b + a (1.1) и a * b = b * a (1.3). Но для степенных уравнений ab не равна ba. В этом легко убедиться, если взять a=2 и b=3 (23 = 8; 32 = 9). Это означает, что для степенной функции существует не одна, а целых две обратных функции. В одном случае мы должны ответить на вопрос: в какую степень надо возвести двойку, чтобы получилась восьмерка? Для этого мы должны взять логарифм из 8 по основанию 2: 3 = log2(8). В другом случае, возможен другой вопрос: какое число, будучи возведенным в третью степень, дает 8? Тогда мы должны взять корень кубический из 8: 2 = 3√8.
Выпишем все прямые и обратные операции:
а) сложение
a + b = cа') вычитание
b = c - a12б) умножение
a * b = cб') деление
b = c / a2в) возведение в степень
ab = cв') извлечение корня
a = b√c3г) возведение в степень
ab = cг') взятие логарифма
b = logac4
Целые отрицательные числа.
Изучая свойства наших новых функций, мы довольно быстро можем натолкнуться на новые неразрешимые вопросы. Пример на вычитание. Чему будет равно b в уравнении b = 2 - 5 ? В соответствии с определением операции вычитания, нам необходимо найти такое число, которое дает 3, если к нему добавить 5. Перебрав все целые положительные числа (а мы пока знаем только эти числа), мы придем к выводу, что задача не решается. Однако можно сделать то, что потом станет системой, великой идеей: наткнувшись на неразрешимую задачу, надо сначала отойти в сторону, а затем обобщить. Забудем о первоначальных определениях сложения и умножения (которые мы формулировали только для целых положительных чисел), но сохраним правила (1) и (2), и предположим, что они верны вообще не только для целых положительных чисел, а для более широкого класса чисел. Раньше мы использовали символы, чтобы вывести правила; теперь же правила будут определять символы, а символы будут представителями каких-то более общих чисел. Манипулируя правилами, можно показать, что 3 - 5 = 0 - 2. Давайте определим новые числа: 0-1, 0-2, 0-3 и т.д. (или просто -1, -2, -3) и назовем их целыми отрицательными числами. Теперь мы сможем решить все задачи на вычитание! Легко убедиться, что и другие правила группы (1) верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.
Мы значительно расширили область действия наших правил, но достигли этого ценой изменения смысла символов. Уже нельзя, например, сказать, что умножить 5 на -2 - значит сложить пять минус два раза. Эта фраза бессмысленна. Тем не менее, пользуясь правилами, мы всегда получим верный результат.
Правда, возведение в степень опять ставит перед нами проблемы. Кто-нибудь обязательно захочет узнать, что означает символ а(3-5). Мы знаем, что (3 - 5) это решение уравнения (3 - 5) + 5 = 3. Следовательно, мы знаем, что а(3-5) * a5 = a3. Разделив обе части уравнения на a5, получим следующее уравнение: а(3-5) = a3 / a5. Еще одно усилие, и вот окончательный результат: а(3-5) = 1 / a2. Таким образом, мы установили, что возведение числа в отрицательную степень сводится к делению единицы на число, возведенное в положительную степень. Все было бы хорошо, если бы 1/а2 не было бессмысленным символом. Ведь а - это целое положительное или отрицательное число, значит, а2 больше единицы, а мы не умеем делить единицу на числа, большие чем единица!
Рациональные дроби (или рациональные числа).
Система так система. Натолкнувшись на неразрешимую задачу, надо расширить царство чисел. На этот раз нам трудно делить: нельзя найти целого числа ни положительного, ни отрицательного, которое появилось бы в результате деления 3 на 5. Так назовем это и другие подобные ему числа рациональными дробями и предположим, что дроби подчиняются тем же правилам, что и целые числа. Тогда мы сможем оперировать дробями так же хорошо, как и целыми числами.
Вот еще один пример на степень: что такое a3/5? Мы знаем, что (3/5) * 5 = 3, и еще, что (a3/5)5 = a(3/5)5, ибо это одно из правил (1.8). Вспомнив определение корня, мы получим а(3/5) = 5√a3. Определяя таким образом дроби, мы не вводим никакого произвола. Сами правила следят за тем, чтобы подстановка дробей вместо написанных нами символов не была бессмысленной процедурой. Замечательно, что эти правила справляются с дробями так же хорошо, как и с целыми числами (положительными и отрицательными)!
Открывая "новые" числа, мы открываем и новые их свойства, о которых не догадывались раньше. Так, у рациональных дробей есть очень важное свойство, которое нам вскоре пригодится. Легко убедиться в том, что 4/6 = 2/3. При этом видно, что в первой дроби оба числа (4 и 6) имеют общий целый делитель - двойку. А в дроби 2/3 таких общих делителей нет. Дроби, в которых нет общих целых делителей, называются несократимыми.
Иррациональные числа.
Остались ли еще уравнения, которые мы не можем решать? Увы, да. Например, нам не под силу уравнение c = 21/2. Это число больше единицы (т.к. 20 = 1), но меньше двойки (т.к. 21 = 2), поэтому оно не целое. Но может быть это рациональная дробь? Чтобы в этом убедиться, предположим, что a/b = 21/2, где a/b - рациональная несократимая дробь. Это значит, что у a и b нет общего целого делителя. Возведем в квадрат левые и правые части равенства: (a/b)2 = 2, т.е. имеем a2 / b2 = 2. Эту же дробь можно выразить иначе: a2 / 2 = b2. Раз b - целое число, значит a - четное (в противном случае a2 / 2 не делилось бы нацело). Выразим a = c * 2 и подставим в наше уравнение: (c*2)2 / 2 = b2. Пользуясь правилом 1.6, получим c2 * 2 = b2. А это равенство означает, что b - тоже четное число. Но если a и b - четные числа, значит, они имеют общий целый делитель, что противоречит нашему первоначальному условию о том, что дробь a / b несократима. Таким образом, 21/2 не является ни целым числом, ни рациональной дробью. Это уже новый класс чисел - иррациональных.
Комплексные числа.
Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Но, чтобы двигаться дальше, покажем одно важное свойство возведения в степень: при возведении в квадрат положительное и отрицательное число дают один и тот же результат a2 = (-a)2. В этом легко убедиться на простом примере: 3 * 3 = (-3) * (-3) = 9.
Попробуем ответить на вопрос: чему равен квадратный корень из -1? Предположим, что это х, тогда х2=-1. Нет ни рационального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предположим, что уравнение х2=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако мы уже знаем, что уравнение х2=-1 имеет два корня. Другим корнем нашего уравнения будет -i, т.е. противоположное по знаку число i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется верным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам получать новые числа вот так: умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умножения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не нарушая ранее установленных правил. Таким образом, мы приходим к числам, которые можно записать в виде a=p+i*q, или в более краткой форме a=p+iq. Такие числа называют комплексными числами. У этих чисел p и q - числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу - мнимым числом. Обращаться с комплексными числами несложно; например, нам надо вычислить произведение (r+is)(p+iq). Вспомнив о правилах, мы получим:
(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp)
потому что ii=i2=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (1). Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: "Рано говорить об общем выражении, надо еще определить, например, возведение в мнимую степень, а потом можно придумать много алгебраических уравнений, для решения которых потребуются новые числа". В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число - квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Доказательство очень красиво, очень интересно, но далеко не самоочевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожидать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобретение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраического уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или ii- опять те же комплексные числа.
И если мы подробнее позанимаемся с комплексными числами, то натолкнемся на одну из самых удивительных формул математики (она называется формулой Эйлера):
eiq = cos(q) + i*sin(q)
где e - иррациональное число, равное 2.7182818284590452..., а cos(q) и sin(q) - это тригонометрические функции. Так мы получили связь между алгеброй и геометрией. И комплексные числа можно выразить через координаты точки на плоскости. Представим каждое комплексное число в виде x+iy. Если расстояние точки от начала координат обозначить через r, а угол радиуса-вектора точки с осью x - через q, то выражение r(x+iy) можно представить в виде reiq. Это следует из геометрических соотношений между х, у, r и q. Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию!
Заключение.
Начиная эту главу, мы знали только единицу и операцию сложения. Зато у нас была небольшая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические "законы", или свойства чисел, сведенные в уравнения (1), и определения обратных операций (2), мы смогли создать не только новые числа, но и нашли связь между алгеброй и геометрией!
Эта глава называлась "Элементарная алгебра". Значит ли, что есть еще и неэлементарная алгебра? Конечно же есть! И не одна. В таких алгебрах могут не работать уже ставшие для нас привычными такие свойства, как a + b = b + a (свойство коммутативности). А это значит, что нас ждут новые классы чисел...
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Данная лекция является адаптированный вариантом лекции Ричарда Фейнмана.