С неба яблочко упало прямо Ньютону на нос...
Когда я учился в младших классах и был изрядный книгочей, папа купил мне в букинистическом магазине четыре тома детской энциклопедии. Энциклопедия была старая, чёрно-белая, тяжеленная, в грязно-коричневом переплёте.
Тематика этих четырёх томов - география, биология, естественные науки и техника - по какой-то удивительной случайности совпала с тем, что я потом всю жизнь любил. Впрочем, возможно это была не случайность, а обыкновенный импринтинг.
Когда в томе про естественные науки я увидел расходящиеся веером силовые линии электростатического поля, я сразу понял, что это тоненькие пронизывающие пространство осьминожьи ручки-щупальца, которые хватают всё, что попадает под их маленькие цепкие пальчики.
Нечто подобное я потом видел в книжках про древний Египет.
Через некоторое время я сообразил, что ручки-щупальца расходятся в пространстве обратно квадрату расстояния, а значит сила электричества и гравитации падает в той же пропорции.
Мысль о том, что с помощью наивных детских фантазий можно открывать фундаментальные законы природы, была удивительна. Ещё более удивительной была мысль, что закон обратных квадратов связан с трёхмерностью нашего пространства, поскольку площадь трёхмерной сферы пропорциональна квадрату радиуса, а в пространствах иных размерностей формулы другие.
Наконец, мне было известно, - спасибо дедушке Ньютону - что в центральном поле, убывающем по закону обратных квадратов, спутник может двигаться вокруг планеты только по трём траекториям - эллипсу (в частном случае - окружности), параболе или гиперболе.
Естественным образом возник вопрос - а как движутся спутники в пространствах иной размерности? Например, в двумерном, где сила обратно пропорциональна первой степени расстояния, или в четырёхмерном, где в знаменателе стоит расстояние в кубе?
Впрочем, сила не обязательно привязана к размерности пространства. Если привязать спутник к планете резинкой или пружиной, то сила в соответствии с законом Гука будет прямо пропорциональна первой степени расстояния.
Напишем несколько простых формул. Пусть сила притяжения пропорциональна расстоянию в степени n, где для электростатического и гравитационного полей n = -2, для упругой силы -n = 1, но в принципе может принимать любые значения.
Запишем это в таком виде:
где G - некоторая постоянная; M и m - масса планеты и спутника; R - расстояние между центрами планеты и спутника.
Найдём скорость движения по круговой орбите, приравняв силу притяжения к центробежной силе. Эту скорость обозначим как V1 поскольку для низких орбит её принято называть первой космической.
Теперь найдём скорость убегания для спутника, находящегося на круговой орбите радиуса R. Эту скорость часто называют второй космической. Вычислим, какую энергию необходимо совершить, чтобы переместить спутник с расстояния R в бесконечность, а затем приравняем эту энергию к кинетической энергии спутника.
Из полученных формул следует интересный вывод: для n > -2 энергия убегания бесконечна, то есть ни при какой скорости спутник не сможет покинуть планету.
Заметим, что случаи с n = -1 существуют в нашем реальном мире. Например, у бесконечно длинной прямой заряженной или гравитирующей нити, а также у бесконечного прямого проводника с током поле падает обратно пропорционально первой степени расстояния. Так что никогда космическая струна (если она существует) не отпустит нас от себя. Также безвариантно привязывает нас к себе резинка, для которой n = 1 .
Теперь приравняем энергию убегания к кинетической энергии спутника. Возьмём частный случай формулы для n < -1 и запишем её в более привычном виде, обозначив k = -n.
Опять отметим интересный факт. Для гравитационного и электростатического полей (k = 2) вторая космическая скорость в √2 раз больше круговой скорости, то есть тело, движущееся по круговой орбите, необходимо разогнать, чтобы оно ушло в бесконечность. Для случая k = 3 вторая космическая скорость равна первой космической. Это можно интерпретировать так, что пока скорость спутника в точности равна круговой скорости, спутник движется по окружности, но небольшой толчок, немного увеличивающий скорость, приводит к тому, что спутник уходит в бесконечность. Что будет, если круговая скорость немного уменьшится, из формулы не видно, но можно предположить, что спутник упадёт на планету (так оно и есть).
Таким образом, для k = 3 конечные и замкнутые орбиты могут быть только круговыми, но круговые орбиты неустойчивы, небольшое возмущение приводит к тому, что спутник либо уходит в бесконечность, либо падает на планету.
Тот же самый эффект наблюдается для k > 3.
Ниже привожу несколько картинок, полученных в MS Excel путём численного решения уравнений движения.
Случай k = 3:
Случай F = GMm/R³. При скорости, большей круговой (синяя линия) спутник уходит в бесконечность, при скорости меньшей круговой (зелёная линия) - падает на центральное тело. Круговая орбита неустойчива.
Для k = 2 получаем известный ньютоновский результат - для скоростей меньше второй космической орбита является эллипсом/окружностью, для второй космической - параболой (то есть эллипсом с бесконечно удалённым апоцентром), при скоростях более второй космической - гиперболой. При этом при движении по замкнутой траектории спутник всегда возвращается в точку, где последний раз изменилась его скорость.
Случай F = GMm/R². При скорости, меньшей второй космической, орбита представляет собой эллипс, в противном случае - параболу или гиперболу (фиолетовая линия).
Для k = 1 наблюдаем «ромашку», которую можно представить как эллипс, оси которого с постоянной угловой скоростью поворачиваются в пространстве. Чем-то похоже на известный феномен смещения перигелия Меркурия, но перигелий смещается значительно быстрее.
Если спутник, двигаясь по круговой орбите, увеличивает скорость, то ближайшие к планете точки орбиты будут лежать на исходной круговой орбите. При уменьшении скорости на круговой орбите будут лежать наиболее удалённые точки орбиты.
Случай F = GMm/R. Орбиты представляют собой «ромашки», вписанные изнутри в круговое кольцо.
Аналогично будет вести себя спутник при k = 0 (сила притяжения вообще не зависит от расстояния).
Случай F = GMm.
Далее идёт случаи, когда сила притяжения возрастает с расстоянием.
Весьма интересен случай k = 1, когда сила притяжения подчиняется закону Гука. Как и для ньютоновского случая малых скоростей, здесь орбитой всегда является эллипс, однако центр тяжести системы совпадает не с фокусом эллипса, а с его геометрическим центром. Соответственно, при изменении скорости спутника новая орбита будет пересекаться с прежней в двух точках - точке последнего изменения скорости и диаметрально противоположной ей точке.
Интересно, то что для спутника, движущегося по круговой орбите, увеличение скорости в N раз приводит к увеличению большой полуоси орбиты в те же самые N раз.
Случай F = GMmR. Орбиты представляют собой эллипсы, геометрический центр которых совпадает с центром тяжести системы планета-спутник.
Это был последний интересный случай. Для n > 1 имеем «ромашки», похожие на n = -1.
Случай F = GMmR². Здесь и далее - «ромашка» для любых n.
Резюме:
- Замкнутая конечная устойчивая орбита возможна только для n = -2 (силы Ньютона и Кулона) и для n = 1 (сила Гука). Забавно, что это единственные существующие реально случаи.
- Для n < -1 существуют скорости, при которых спутник уходит в бесконечность. Для n > -2 орбиты всегда конечны.
- Для n < -2 круговая орбита всегда неустойчива.
- Для всех n > -2, кроме n = 1, орбита представляет собой «ромашку», то есть равномерно вращающийся в пространстве эллипс. В общем случае орбита незамкнута и заполняет собой круглое кольцо.