О дискретности видов и непрерывности жизни
О дискретности видов и непрерывности жизни.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Зная математиков, я уверена, что у них уже давным-давно описаны изучаемые нами, биологами, объекты, и давно описаны их свойства и поведение; но только математики сами не знают, что эти их кракозябры - это, на самом деле, наши «птички-бабочки», а мы, биологи, не знаем, что наши «птички-бабочки» - это, на самом деле, все эти иксы, игреки и знаки высшей математики. Засим, для того, чтоб поставить биологию на математические рельсы, не надо придумывать никакой новой математики, достаточно просто сделать перевод мат.языка на язык биологии.
Прошу людей математически подкованных отнестись снисходительно к нижеизложенному, ведь мы, биологи, люди математически обделенные, и мы так далеки от всего этого [как северный полюс от южного], что для нас какая-нибудь самая элементарная хрень для первого класса начальной школы может показаться мегаоткровением. Поэтому, пожалуйста, не кидайте в меня тапки, если я буду излагать «очевидные, дураку понятные, всем известные» вещи. Прошу также, не карать слишком жестоко, если я буду лажать. Лучше проявите снисхождение и поправьте юродивого.
Я же адресую сей текст в первую очередь собратьям-биологам.
СОБСНА САБЖ.
Прежде чем обсуждать дискретность видов, предлагаю сначала вспомнить и разобраться в сортах чисел, ведь именно число является дискретным объектом в математике.
Числа бывают:
Натуральные. 1,2,3,4,5… «Натуральные» - от слова «натура», то есть, «природа». То есть «те, которые есть в природе, а не в уме». Это количества штук предметов в реальном объективном мире. Положительные целые числа. (О том, что в природе есть и другие сорта чисел, более хитро закопанные, первооткрыватели математики в те времена еще не задумывались).
Рациональные. Это те, которые получаются из натуральных путем их деления друг на друга. Иными словами - любые простые дроби (1/2, 1/3, 2/3….). Название идет от «рацио», то есть «разум» (типа такой фигни в природе нет, до нее можно только додуматься разумно).
Так и хочется сказать, что натуральные и рациональные числа - это целые и дроби, соответственно. Ан нет! Целые числа, помимо натуральных, могут быть еще отрицательными, например. А дроби могут быть не только простыми, но и, например, иррациональными.
А это что за фингя, спросите вы? Так вот, да, иррациональные числа. Здесь начинается [самое] интересное. Чтоб понять, что такое иррациональные числа, нам придется сначала представить себе непрерывную прямую линию.
__________________________________________
Теперь нарисуем на этой линии натуральные числа (вместе с нулем). Чтоб делать это, нам надо поставить на ней точки через равные промежутки, и присвоить каждой точке число.
1 2 3 4 5 6
_|______|______|______|______|______|______|___
(простите, я не знаю, как нарисовать тут нормальную картинку, да еще так, чтоб не тратить много времени)
У меня вопрос: что находится на этой линии в промежутках между натуральными числами? Рациональные числа, скажете вы. В промежутках между целыми находятся дроби. И это правильно. Так что добавим и их на рисунок.
0 1/2 1 2
_|___|___|______|____
0 1/3 1/2 2/3 1 2
_|__|_|_|__|______|____
Ну и т.д.
У меня снова вопрос: а что находится в промежутках между рациональными числами? То есть между простыми дробями? Другие простые дроби, более мелкие, скажете вы. Ок, отвечу я, только это нам не поможет. Поскольку между натуральными числами есть «дырки», то в каком бы масштабе мы не нарезали линию натуральными числами, между ними все равно будут оставаться «дырки». Можно всю бесконечность натуральных чисел вместить на отрезок от 0 до 1, но, посмотрев в очень сильный микроскоп, увидеть между ними все те же «дырки».
Но что же все-таки находится в этих промежутках?
Там находится то, что математики назвали иррациональными числами: дроби, которые невозможно получить из натуральных чисел никакими действиями. Смысл такой: на непрерывной линии можно в любом месте поставить точку, и ей будет соответствовать какое-то число. Их примеры знакомы всем, кто когда-нибудь посещал школу: это, например, π, или e, или √(2).
Всю совокупность натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел математики назвали действительными числами. Понятие действительных чисел описывает столь возлюбленный мною переход дискретного в континуальное: это _непрерывная_ линия, нацело состоящая из _дискретных_ точек.
Как всё это прочитать с точки зрения биологии? А так:
Жизнь - это непрерывный процесс. Поэтому ее можно изобразить непрерывной линей, идущей из прошлого в будущее. Живые организмы - это точки на этой прямой, которые могут «возникать» в любом ее месте [на то она и непрерывна]. Поэтому совокупность живых организмов следует воспринимать как множество действительных чисел, а не натуральных, и не рациональных. И работать с ней соответственно.
Между тем, сейчас общепринятой парадигмой биологии является интерпретация совокупности живых организмов как натурального множества.
[пример такого представления: таксон-признаковая матрица]
В этом смысле мы, биологи, по мышлению находимся сейчас на уровне древнегреческих натурфилософов, которые думали, что весь мир можно описать арифметикой рациональных чисел.
А в чем разница? А в том, что у действительного множества возможностей больше, чем у натурально-рационального. В иррациональных числах решаются такие задачи, которые в рациональных не решаемы. Типа корня из двух или квадратуры круга. Чем конкретно нам, биологам, это поможет, пока не скажу, а скажу только, что это открывает перед нами непаханое поле.
Нами не паханное. Математики-то его давно перепахали. Поэтому беру первые попавшиеся лекции по матану и начинаю их читать.
*лирическое отступление* это только на первых парах кажется сложно, а на самом деле надо просто выучить первый лист (на котором словарь значков), а потом читать кракозябры не как кракозябры, а как слова, то есть проговаривать про себя математические записи обычным русским языком. И тогда многое станет яснее. Но сразу скажу, что без живого математика под рукой все равно никак. Легко можно не заметить какую-нибудь важную, но мелкую детальку, и не придать ей значения, а без нее концы с концами не сходятся; и тогда надо сразу бежать и вопрошать Просветленного: «почему, мол, у меня доказательство не доказывает?» А он тебе ткнет пальцем в детальку и разъяснит: «слона-то ты и не приметил» *конец лирического отступления*
На второй же странице нахожу биологически значимое:
«(IV) Аксиома непрерывности IV (вариант принципа Дедекинда)
Пусть A,B - непустые подмножества R такие, что a ≤ b ∀a∈A, ∀b∈B. Тогда ∃c∈R такое, что a ≤ c ≤ b ∀a∈A, ∀b∈B.»
Читается так:
R - множество действительных чисел.
A,B - «непустые подмножества R», то есть это два множества, являющиеся частями множества действительных чисел (все элементы их обоих содержатся в множестве R), такие что а меньше или равно b при любом а, входящем в состав множества А, и любом b, входящем в состав множества B. Иными словами, если изобразить графически, подмножество А находится на линии левее, а подмножество B - правее.
Тогда всегда существует такое число с, что a ≤ c ≤ b при любом а, входящем в состав множества А, и любом b, входящем в состав множества B.
Иными словами, есть такое число с, которое влезет между множествами А и B.
Биологическое прочтение (-ий смысл):
Если множество А - это один вид, а множество В - это другой вид, то всегда найдется форма, занимающая промежуточное положение между ними.
Сие значит, что нет смысла бесконечно дробить таксономические группы на множества подгрупп и устанавливать новые виды на основании минимальных различий. Потому что при условии непрерывности жизни дробить таксоны придется (не можно, а придется!) именно что бесконечно.
Важное уточнение: жизнь является непрерывным процессом во времени, однако в пространстве единовременно-одномоментно совокупность организмов является вполне себе счетным множеством (то есть всё, что бегает по земле в один момент настоящего, можно пересчитать натуральными числами). Таким образом, жизнь как явление обладает весьма занятным «дискретно-континуальным дуализмом»: счетность объектов и непрерывность процессов.
Иными словами, если мы совсем не будем учитывать фактор времени, если включим воображалку и представим, что все живые существа, которые бегают здесь и сейчас по земле, не произошли друг от друга, а возникли на пустом месте в один миг по щелчку чьих-нибудь пальцев сразу в том виде, в каком мы их видим, - тогда мы имели бы право описывать их как множество натуральных чисел. Но как только в исследование закрадывается фактор времени (как только начинается evolution, development и прочая палеонтология), он неизбежно притаскивает с собой континуальность, и бывшее натуральное множество сразу превращается во множество случайных точек, возникших на произвольных местах континуума.
Здесь должно быть еще Важное Дополнение 2, но я так увязла в словоблудии при его написании, что появилась реальная угроза, что я сделаю это еще нескоро. А предыдущий кусок я хочу опубликовать.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Зная математиков, я уверена, что у них уже давным-давно описаны изучаемые нами, биологами, объекты, и давно описаны их свойства и поведение; но только математики сами не знают, что эти их кракозябры - это, на самом деле, наши «птички-бабочки», а мы, биологи, не знаем, что наши «птички-бабочки» - это, на самом деле, все эти иксы, игреки и знаки высшей математики. Засим, для того, чтоб поставить биологию на математические рельсы, не надо придумывать никакой новой математики, достаточно просто сделать перевод мат.языка на язык биологии.
Прошу людей математически подкованных отнестись снисходительно к нижеизложенному, ведь мы, биологи, люди математически обделенные, и мы так далеки от всего этого [как северный полюс от южного], что для нас какая-нибудь самая элементарная хрень для первого класса начальной школы может показаться мегаоткровением. Поэтому, пожалуйста, не кидайте в меня тапки, если я буду излагать «очевидные, дураку понятные, всем известные» вещи. Прошу также, не карать слишком жестоко, если я буду лажать. Лучше проявите снисхождение и поправьте юродивого.
Я же адресую сей текст в первую очередь собратьям-биологам.
СОБСНА САБЖ.
Прежде чем обсуждать дискретность видов, предлагаю сначала вспомнить и разобраться в сортах чисел, ведь именно число является дискретным объектом в математике.
Числа бывают:
Натуральные. 1,2,3,4,5… «Натуральные» - от слова «натура», то есть, «природа». То есть «те, которые есть в природе, а не в уме». Это количества штук предметов в реальном объективном мире. Положительные целые числа. (О том, что в природе есть и другие сорта чисел, более хитро закопанные, первооткрыватели математики в те времена еще не задумывались).
Рациональные. Это те, которые получаются из натуральных путем их деления друг на друга. Иными словами - любые простые дроби (1/2, 1/3, 2/3….). Название идет от «рацио», то есть «разум» (типа такой фигни в природе нет, до нее можно только додуматься разумно).
Так и хочется сказать, что натуральные и рациональные числа - это целые и дроби, соответственно. Ан нет! Целые числа, помимо натуральных, могут быть еще отрицательными, например. А дроби могут быть не только простыми, но и, например, иррациональными.
А это что за фингя, спросите вы? Так вот, да, иррациональные числа. Здесь начинается [самое] интересное. Чтоб понять, что такое иррациональные числа, нам придется сначала представить себе непрерывную прямую линию.
__________________________________________
Теперь нарисуем на этой линии натуральные числа (вместе с нулем). Чтоб делать это, нам надо поставить на ней точки через равные промежутки, и присвоить каждой точке число.
1 2 3 4 5 6
_|______|______|______|______|______|______|___
(простите, я не знаю, как нарисовать тут нормальную картинку, да еще так, чтоб не тратить много времени)
У меня вопрос: что находится на этой линии в промежутках между натуральными числами? Рациональные числа, скажете вы. В промежутках между целыми находятся дроби. И это правильно. Так что добавим и их на рисунок.
0 1/2 1 2
_|___|___|______|____
0 1/3 1/2 2/3 1 2
_|__|_|_|__|______|____
Ну и т.д.
У меня снова вопрос: а что находится в промежутках между рациональными числами? То есть между простыми дробями? Другие простые дроби, более мелкие, скажете вы. Ок, отвечу я, только это нам не поможет. Поскольку между натуральными числами есть «дырки», то в каком бы масштабе мы не нарезали линию натуральными числами, между ними все равно будут оставаться «дырки». Можно всю бесконечность натуральных чисел вместить на отрезок от 0 до 1, но, посмотрев в очень сильный микроскоп, увидеть между ними все те же «дырки».
Но что же все-таки находится в этих промежутках?
Там находится то, что математики назвали иррациональными числами: дроби, которые невозможно получить из натуральных чисел никакими действиями. Смысл такой: на непрерывной линии можно в любом месте поставить точку, и ей будет соответствовать какое-то число. Их примеры знакомы всем, кто когда-нибудь посещал школу: это, например, π, или e, или √(2).
Всю совокупность натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел математики назвали действительными числами. Понятие действительных чисел описывает столь возлюбленный мною переход дискретного в континуальное: это _непрерывная_ линия, нацело состоящая из _дискретных_ точек.
Как всё это прочитать с точки зрения биологии? А так:
Жизнь - это непрерывный процесс. Поэтому ее можно изобразить непрерывной линей, идущей из прошлого в будущее. Живые организмы - это точки на этой прямой, которые могут «возникать» в любом ее месте [на то она и непрерывна]. Поэтому совокупность живых организмов следует воспринимать как множество действительных чисел, а не натуральных, и не рациональных. И работать с ней соответственно.
Между тем, сейчас общепринятой парадигмой биологии является интерпретация совокупности живых организмов как натурального множества.
[пример такого представления: таксон-признаковая матрица]
В этом смысле мы, биологи, по мышлению находимся сейчас на уровне древнегреческих натурфилософов, которые думали, что весь мир можно описать арифметикой рациональных чисел.
А в чем разница? А в том, что у действительного множества возможностей больше, чем у натурально-рационального. В иррациональных числах решаются такие задачи, которые в рациональных не решаемы. Типа корня из двух или квадратуры круга. Чем конкретно нам, биологам, это поможет, пока не скажу, а скажу только, что это открывает перед нами непаханое поле.
Нами не паханное. Математики-то его давно перепахали. Поэтому беру первые попавшиеся лекции по матану и начинаю их читать.
*лирическое отступление* это только на первых парах кажется сложно, а на самом деле надо просто выучить первый лист (на котором словарь значков), а потом читать кракозябры не как кракозябры, а как слова, то есть проговаривать про себя математические записи обычным русским языком. И тогда многое станет яснее. Но сразу скажу, что без живого математика под рукой все равно никак. Легко можно не заметить какую-нибудь важную, но мелкую детальку, и не придать ей значения, а без нее концы с концами не сходятся; и тогда надо сразу бежать и вопрошать Просветленного: «почему, мол, у меня доказательство не доказывает?» А он тебе ткнет пальцем в детальку и разъяснит: «слона-то ты и не приметил» *конец лирического отступления*
На второй же странице нахожу биологически значимое:
«(IV) Аксиома непрерывности IV (вариант принципа Дедекинда)
Пусть A,B - непустые подмножества R такие, что a ≤ b ∀a∈A, ∀b∈B. Тогда ∃c∈R такое, что a ≤ c ≤ b ∀a∈A, ∀b∈B.»
Читается так:
R - множество действительных чисел.
A,B - «непустые подмножества R», то есть это два множества, являющиеся частями множества действительных чисел (все элементы их обоих содержатся в множестве R), такие что а меньше или равно b при любом а, входящем в состав множества А, и любом b, входящем в состав множества B. Иными словами, если изобразить графически, подмножество А находится на линии левее, а подмножество B - правее.
Тогда всегда существует такое число с, что a ≤ c ≤ b при любом а, входящем в состав множества А, и любом b, входящем в состав множества B.
Иными словами, есть такое число с, которое влезет между множествами А и B.
Биологическое прочтение (-ий смысл):
Если множество А - это один вид, а множество В - это другой вид, то всегда найдется форма, занимающая промежуточное положение между ними.
Сие значит, что нет смысла бесконечно дробить таксономические группы на множества подгрупп и устанавливать новые виды на основании минимальных различий. Потому что при условии непрерывности жизни дробить таксоны придется (не можно, а придется!) именно что бесконечно.
Важное уточнение: жизнь является непрерывным процессом во времени, однако в пространстве единовременно-одномоментно совокупность организмов является вполне себе счетным множеством (то есть всё, что бегает по земле в один момент настоящего, можно пересчитать натуральными числами). Таким образом, жизнь как явление обладает весьма занятным «дискретно-континуальным дуализмом»: счетность объектов и непрерывность процессов.
Иными словами, если мы совсем не будем учитывать фактор времени, если включим воображалку и представим, что все живые существа, которые бегают здесь и сейчас по земле, не произошли друг от друга, а возникли на пустом месте в один миг по щелчку чьих-нибудь пальцев сразу в том виде, в каком мы их видим, - тогда мы имели бы право описывать их как множество натуральных чисел. Но как только в исследование закрадывается фактор времени (как только начинается evolution, development и прочая палеонтология), он неизбежно притаскивает с собой континуальность, и бывшее натуральное множество сразу превращается во множество случайных точек, возникших на произвольных местах континуума.
Здесь должно быть еще Важное Дополнение 2, но я так увязла в словоблудии при его написании, что появилась реальная угроза, что я сделаю это еще нескоро. А предыдущий кусок я хочу опубликовать.