Козырная девятка
sevabashirov опубликовал вариацию одного интересного математического прикола. Приведу её здесь.
- Запишите число, месяц и год (две последние цифры) своего рождения.
- Умножьте число на 117.
- Умножьте месяц на 378.
- Умножьте год на 27.
- Сложите три полученных числа.
- Вычислите сумму цифр результата.
- Повторяйте предыдущий пункт до тех пор, пока сумма цифр не будет состоять из одной-единственной цифры.
- Этой одной единственной цифрой будет...
...просто перечитайте заголовок поста.
Оно?
Ну, если вы всё правильно посчитали, то точно будет оно. Девятка.
Сейчас попробую объяснить, в чём цимес. Правда, получится на уровне капитана Очевидность или Страшилы Мудрого*, ну да ладно.
Числа 117, 378 и 27 делятся на 9 без остатка. Классический признак делимости: если сумма цифр числа делится на 9, то само число тоже делится на 9. Сумма цифр у 117 равна 9. Сумма цифр 378 равна 18. Сумма цифр 27... Ай, оно и так из школьной таблицы умножения, с ним всё ясно.
Далее. Если взять любое натуральное число и умножить его на число, делящееся на 9 без остатка, то результат тоже будет делиться на 9 без остатка.
Если сложить сколь угодно много чисел, которые делятся на 9 без остатка, то у суммы сохранится это же свойство.
Таким образом, число, полученное на пятом пункте вычислений, будет делиться на 9. Без остатка, да.
...Короче, Склихосовский. Вообще неважно, с какими двузначными (и не только двузначными) числами вы будете проводить все эти манипуляции. На пятом пункте вычислений вы получите число, делящееся на 9 без остатка.
А теперь настало время для такого термина, как цифровой корень. Я его сегодня для себя... ну, скажем так, переоткрыл. Сначала узнал ещё в школе, потом ни разу в жизни не было необходимости вспоминать. А тут увидел пост Севы и вспомнил. Через ...дцать лет.
Цифровой корень числа N - это и есть результат вычислений суммы цифр, состоящий из одной-единственной цифры. Вычислили сумму цифр числа N, вычислили сумму цифр результата, сумму цифр полученного результата... И так до тех пор, пока результат не станет одной цифрой.
И - можете ли вы себе представить? - цифровым корнем любого числа, которое делится без остатка на 9, будет собственно 9! Больше ни одна цифра от 2 до 8 не сможет похвастаться этим свойством. Вот смотрите:
- 32 делится на 2, но 3 + 2 = 5.
- 18 делится на 3, но 1 + 8 = 9.
- 32 делится ещё и на 4, но... сами понимаете.
- 25 делится на 5, но...
81 делится на 9.
8 + 1 = 9.
812 = 6561. 6 + 5 + 6 + 1 = 18. 1 + 8 = 9.
Собственно, в этом и весь секрет.
В свою очередь, я вспомнил ещё один фокус, увиденный ещё в детстве.
Запишите номер вашего телефона. Из входящих в него цифр, переставленных в любом порядке, образуйте новое число и вычтите из большего числа меньшее. Сложите все цифры ответа. Среди волшебных знаков (см. рисунок в начале поста) найдите звездочку и поставьте на нее палец. Начиная со звездочки (она соответствует числу 1), обходите по часовой стрелке волшебные знаки, прибавляя при каждом шаге по 1 (так, треугольник будет соответствовать 2, три зигзагообразные линии - 3 и т.д.) до тех пор, пока вы не досчитаете до полученной суммы. Ваш счет всегда будет заканчиваться на спирали.
(Источник: Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1999.)
Суть фокуса та же. Всё та же девятка. Всё тот же цифровой корень.
Вот здесь, кстати, статья Мартина Гарднера про цифровые корни приведена полностью. Если интересно, можете ознакомиться.
* Интересно, что Александр Мелентьевич Волков, в отличие от Л.Ф. Баума, по основной профессии был математиком. Возможно, поэтому книжные рассуждения Страшилы напоминают пошаговые доказательства теорем.