но почему?
в общем суть в том, что очень давно люди интересовались, можно ли из двухмерных обьектов составлять трехмерные, так, чтобы они были правильными и простосоставленными
например куб, 6 квадратов одинаковых или пирамида из треугольников одинаковых
и интуитивно вроде бы можно бесконечно много таких фигур составить, например, 16ти угольники какие-нибудь, но почему-то ни у кого не получалось, и все думали, что это просто сложная конструкция, и в будущем у кого-то получится
потом выяснилось, что таких фигур в трехмерном мире всего пять штук, как на картинке
но самое клевое начинается, когда добавляешь измерений, в четырехмерном пространстве их 6 и они очень очень крутые со свойствами и группами симметрий
и, немного страшное, если добавлять дальше, 5, 6 ,7 , 8 измерений
то их будет только три
то есть у четырехмерного пространства самая сложная структура, п о ч е м у т о
в двух измерениях возможно бесконечное множество правильных фигур, 3,4,5,6, сколько хочешь
потому что это будут отрезки одинаковой длины под одинаковыми углами, интересно еще, что окружность - это бесконечноугольник таким образом
в трех попытаемся сделать их из двухмерных фигур
в трех измерениях у объекта на каждой вершине сумма углов должна быть меньше 360 градусов, иначе это не вершина, а точка на поверхности, вольется в двухмерную структуру
у нас все грани будут одинаковыми, поэтому максимальный угол у грани менее 120 градусов, то есть мы отсекаем все 6,7 и так далее-угольники
то есть можно составлять из треугольников, квадратов, пятиугольников
почему их именно 5 это немного сложнее, но об этом позже.
да и нам с тобой гораздо интереснее составлять правильные фигуры в четырехмерном пространстве, проще всего начать с куба, возьмем восемь одинаковых и сцепим между собой, смотри как на картинке
сначала может казаться что их не восемь, но их восемь
можно еще представить его во вращении, это тоже самое что вертеть обычный куб
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/8-cell.gif
мозг будет тебя обманывать, говорить что это трехмерное вращение, но потом ты увидишь что это не совсем так
самое главное увидеть эти кубы, как они перемещаются
такой куб называют 8-cell, потому что из 8ми обьектов составленный, но самое интересное начинается, когда мы используем больше объектов
но не все сразу, надо с этими штуками помедитировать немного
из пирамидок треугольных можно сделать что-то еще более красивое, их нужно 24 штуки и они не совсем просто скрепляются
ну и конечно кручение
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/24-cell.gif
кручение это вообще прекрасно, оно не только выглядит как что-то не из этого мира, в нем еще можно увидеть группы симметрий, а группа симметрий - это основа всяческой физики, то есть на симметриях таких штук все и держится, яблоки и даже аллах
переходим на следующую стадии ахренительности, 120-cell, 120 трехмерных обьектов, составленных из пятиугольников, в каком то смысле самое сложное
кручение это как взрыв миров
они зарождаются и умирают у тебя на глазах
с м о т р и
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/120-cell.gif
вот самая простая
5 пирамидок, я ее показываю сейчас, потому что с помощью нее легче понять самую самую
а, и еще конечно вращение
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/5-cell.gif
но ты же уже можешь внутри себя представить это все, да?
из тех что я показываю сегодня вот эта
600 пирамидок
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/600-cell.gif
у нее группа симметрий равна группе Вайль, а там очень хорошие когомологии, но это так, дополнительный факт
с моей (скромной) точки зрения есть еще более восхитительные штуки, но про них потом