О роли евклидовой планиметрии
Пост Хахама https://xaxam.livejournal.com/1308904.html вызвал некоторые мысли, которые показалось удобнее написать тут, чем там комментарием.
Мысль 1.
"Школьная" планиметрия, особенно продвинутые ее разделы, служат неплохим источником сложных и разнообразных олимпиадных задач. Речь о хороших олимпиадах для школьников, скажем, питерской городской, или всероссийской. Да, такие задачи придумать гораздо труднее, чем составить "новое" тригонометрическое уравнение для вступительного экзамена, но так и олимпиад гораздо меньше проводится. Есть довольно много людей, среди тех, кто занимается математикой с одаренными школьниками (ведет кружки, водит/возит учеников на олимпиады /турниры матбоев, сам участвует в организации этих олимпиад и турниров, и т.п.), которым эстетически очень нравится эта геометрия (=евклидова планиметрия, скажем так). Мне самому нравится. Мне кажется, это потому, что в ней есть (=можно найти или придумать) гораздо более содержательные задачи, доступные для решения школьников, чем по другим темам. Да, глубокие и сложные задачи по комбинаторике или теории графов тоже бывают, но по-моему разнообразие доступных детям задач, не требующих больших и сложных спецкурсов, заметно беднее, чем в планиметрии.
Например, возьмем сборник задач Шарыгина. Бывают ли аналогичные сборники по алгебре? Комбинаторике?
Аналогичные - это а) доступные по требуемому уровню знания материала (знаменитая брошюра Гордина "что должен знать каждый матшкольник" на самом деле довольно скромна по объему и сложности, по сравнению с курсом топологии, скажем, достаточным для появления большого количества хороших задач), б) сложные и интересные умному ученику.
Может и бывают, а я просто не знаю, по своему невежеству.
Мысль 2. Точнее, просто воспоминание.
Однажды, при работе над студенческой курсовой, мне понадобился потенциал двойного слоя в простой области на плоскости, и мне стало интересно, в каких вообще областях (с каким качеством границы) он нормально определен (т.е. линейный оператор ограничен). В.П. мне сразу сказал - граница должна быть "радоновской" кривой, т.е. с ограниченной вариацией нормали (или касательной, неважно). Я полез познакомиться с оригинальным доказательством Радона (д-во того, что полный угол, с учетом всех "наслоений", под которым кривая видна из произвольной точки на плоскости, ограничен по сути той самой полной вариацией нормали. ну, плюс два пи еще для надежности - на ограниченность оператора не влияет). Две страницы мелким шрифтом очень трудных для восприятия алгебраическо-аналитических рассуждений. Мне захотелось попытаться это доказать обычной планиметрией. И у меня это получилось, причем довольно просто и элегантно. И мне показалось, что у моего доказательства есть шансы обобщиться на трехмерный случай. Но когда я попытался это рассказать настоящим геометрам, им это оказалось совсем неинтересно. Как некая игра ума для развлечения - возможно, но видимо совсем далеко от актуальных задач геометрии.
Мысль 1.
"Школьная" планиметрия, особенно продвинутые ее разделы, служат неплохим источником сложных и разнообразных олимпиадных задач. Речь о хороших олимпиадах для школьников, скажем, питерской городской, или всероссийской. Да, такие задачи придумать гораздо труднее, чем составить "новое" тригонометрическое уравнение для вступительного экзамена, но так и олимпиад гораздо меньше проводится. Есть довольно много людей, среди тех, кто занимается математикой с одаренными школьниками (ведет кружки, водит/возит учеников на олимпиады /турниры матбоев, сам участвует в организации этих олимпиад и турниров, и т.п.), которым эстетически очень нравится эта геометрия (=евклидова планиметрия, скажем так). Мне самому нравится. Мне кажется, это потому, что в ней есть (=можно найти или придумать) гораздо более содержательные задачи, доступные для решения школьников, чем по другим темам. Да, глубокие и сложные задачи по комбинаторике или теории графов тоже бывают, но по-моему разнообразие доступных детям задач, не требующих больших и сложных спецкурсов, заметно беднее, чем в планиметрии.
Например, возьмем сборник задач Шарыгина. Бывают ли аналогичные сборники по алгебре? Комбинаторике?
Аналогичные - это а) доступные по требуемому уровню знания материала (знаменитая брошюра Гордина "что должен знать каждый матшкольник" на самом деле довольно скромна по объему и сложности, по сравнению с курсом топологии, скажем, достаточным для появления большого количества хороших задач), б) сложные и интересные умному ученику.
Может и бывают, а я просто не знаю, по своему невежеству.
Мысль 2. Точнее, просто воспоминание.
Однажды, при работе над студенческой курсовой, мне понадобился потенциал двойного слоя в простой области на плоскости, и мне стало интересно, в каких вообще областях (с каким качеством границы) он нормально определен (т.е. линейный оператор ограничен). В.П. мне сразу сказал - граница должна быть "радоновской" кривой, т.е. с ограниченной вариацией нормали (или касательной, неважно). Я полез познакомиться с оригинальным доказательством Радона (д-во того, что полный угол, с учетом всех "наслоений", под которым кривая видна из произвольной точки на плоскости, ограничен по сути той самой полной вариацией нормали. ну, плюс два пи еще для надежности - на ограниченность оператора не влияет). Две страницы мелким шрифтом очень трудных для восприятия алгебраическо-аналитических рассуждений. Мне захотелось попытаться это доказать обычной планиметрией. И у меня это получилось, причем довольно просто и элегантно. И мне показалось, что у моего доказательства есть шансы обобщиться на трехмерный случай. Но когда я попытался это рассказать настоящим геометрам, им это оказалось совсем неинтересно. Как некая игра ума для развлечения - возможно, но видимо совсем далеко от актуальных задач геометрии.