Принцип Дирихле
Вы думаете это я поругался? Ничего подобного.
Столько лет живу и сколько всего нового узнаю с Тимуром!!
Вчера был ничем не привлекательный вечер. Игры, конструкторы, музыка… и вот мы вспомнили, что должны появиться новые задачки по математике. Открыли, начали решать.
По совету ЖЖ-друзей делаю фотки решений Тимура.
1. У отца и матери три дочери; у каждой дочери есть один брат. Сколько всего детей в этой семье?
Первая задача решилась без особых проблем. Хотя ответ 6 вначале манил Тима своей очевидностью.
2. У МатеМаши есть головоломка из семи частей круга. На круге нарисована божья коровка. Крылья божьей коровки красные с круглыми чёрными пятнышками. Расцветка крыльев одинаковая, то есть пятнышки на разных крыльях расположены друг напротив друга. МатеМаша выложила четыре части головоломки на свои места, и собирается положить еще три. Но уже сейчас можно узнать, сколько всего пятнышек на крыльях божьей коровки. Сколько же их?
МатеМаша со своей божьей коровкой пошла веселее. Симметрия любого заинтересует!
3. В доме 20 комнат. 15 из них нравятся взрослым, 10 - нравятся детям, а 3 не нравятся ни детям, ни взрослым. Сколько комнат в доме нравятся всем: и детям, и взрослым?
Комнаты были отрисованы так. Любопытно пошла мысль:)
А вот следующая задачка побудила нас на целое расследование.
4. В чемодане лежит 5 одинаковых пар белых перчаток и 15 одинаковых пар чёрных. Какое наименьшее число перчаток нужно вынуть не глядя, чтобы среди них наверняка оказались левая и правая перчатки одного цвета?
Вначале Тим попытался решить с помощью наглядного метода как с сороконожкой и туфлями. Но запутался, конечно.
Я догадался чисто логически. Однако, чуть чуть порывшись мы поняли что за этим решением стоит простой принцип. И как оказалось давно сформулированный.
Эти задачи очень популярны на разных математических олимпиадах. Причем не только в лоб, но и с небольшими усложнениями, уходом в геометрию.
Как мы прочитали у одного репетитора.
Составители вступительных экзаменов в сильные математические школы очень любят включать в свои варианты олимпиадные задачи на принцип Дирихле. Однако их содержание не отличаются особым разнообразием, ибо сюжет задач должен точь в точь повторить условие принципа. Репетитор по математике обычно тратит на задачи данной тематики более одного олимпиадного урока из за достаточно сложной логики доказательств.
При́нцип Дирихле́ - утверждение, названное в честь автора немецкого математика, который жил в 19 веке. Данное утверждение устанавливает связь между объектами при выполнении определённых условий. Данный метод автор успешно применял его к доказательству арифметических утверждений. Принцип Дирихле применяется в разных разделах математики: в арифметике, в комбинаторике, в геометрии.
По традиции принцип Дирихле объясняют на примере "кроликов и клеток". Самая популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:
"Если в n клетках сидит n+1 или больше кроликов, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два кролика".
Более общая формулировка принципа: «Если k кроликов сидят в n клетках (k>n), то найдётся клетка, в которой не менее k/n кроликов»
Заметим, что в роли кроликов могут выступать различные предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и т. д. Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней - "клетки", а что - "кролики". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.
А дальше для понимания мы просто поиграли с Тимуром в вопрос-ответ, чтобы он уловил идею и принцип.
Задача: Шесть школьников съели семь конфет. Докажите, что один из них съел не менее двух конфет.
Он конечно, шустро уловил, что школьников меньше, чем конфет. А значит "лишняя" конфетка кому-то досталась.
Задача: Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели
Тут уже сложнее, потому что надо сообразить, что игроков на поле 11, в дней недели 7. Но справились.
А вот уж и наши перчатки-шарики пошли
Задача В мешке лежат шарики 2-х разных цветов (много белых и много черных). Какое наименьшее количество шариков надо на ощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета.
После этой задачки и теории подойти к решению нашей задачи про перчатки оказалось довольно просто.
И это мы лишь немного затронули тему комбинаторики и принципа Дирихле. Порылись - нашли кучу интересных задач. Будем думать, кто в каждой из них кролик, а кто клетка. Очень жаль что в кружке нет теоретической части. Ведь очевидно, что решение этой задачки без теории невозможно с полным пониманием.
5. Нитку сложили вдвое, ещё раз вдвое и ещё раз вдвое. Получившуюся толстую нитку разрезали на две части и разобрали на тонкие нитки. Оказалось, что три из этих ниточек имеют длины 4 см, 8 см и 10 см. Какова длина исходной нитки?
Последняя задачка про нитки решилась визуальным способом - путем реального сложения - разрезания нити. Ответ оказался неожиданным для меня.
Получили огромное удовольствие от задач этой недели. И вот такой интересный принцип узнали!!!!
Век живи - век учись!
Столько лет живу и сколько всего нового узнаю с Тимуром!!
Вчера был ничем не привлекательный вечер. Игры, конструкторы, музыка… и вот мы вспомнили, что должны появиться новые задачки по математике. Открыли, начали решать.
По совету ЖЖ-друзей делаю фотки решений Тимура.
1. У отца и матери три дочери; у каждой дочери есть один брат. Сколько всего детей в этой семье?
Первая задача решилась без особых проблем. Хотя ответ 6 вначале манил Тима своей очевидностью.
2. У МатеМаши есть головоломка из семи частей круга. На круге нарисована божья коровка. Крылья божьей коровки красные с круглыми чёрными пятнышками. Расцветка крыльев одинаковая, то есть пятнышки на разных крыльях расположены друг напротив друга. МатеМаша выложила четыре части головоломки на свои места, и собирается положить еще три. Но уже сейчас можно узнать, сколько всего пятнышек на крыльях божьей коровки. Сколько же их?
МатеМаша со своей божьей коровкой пошла веселее. Симметрия любого заинтересует!
3. В доме 20 комнат. 15 из них нравятся взрослым, 10 - нравятся детям, а 3 не нравятся ни детям, ни взрослым. Сколько комнат в доме нравятся всем: и детям, и взрослым?
Комнаты были отрисованы так. Любопытно пошла мысль:)
А вот следующая задачка побудила нас на целое расследование.
4. В чемодане лежит 5 одинаковых пар белых перчаток и 15 одинаковых пар чёрных. Какое наименьшее число перчаток нужно вынуть не глядя, чтобы среди них наверняка оказались левая и правая перчатки одного цвета?
Вначале Тим попытался решить с помощью наглядного метода как с сороконожкой и туфлями. Но запутался, конечно.
Я догадался чисто логически. Однако, чуть чуть порывшись мы поняли что за этим решением стоит простой принцип. И как оказалось давно сформулированный.
Эти задачи очень популярны на разных математических олимпиадах. Причем не только в лоб, но и с небольшими усложнениями, уходом в геометрию.
Как мы прочитали у одного репетитора.
Составители вступительных экзаменов в сильные математические школы очень любят включать в свои варианты олимпиадные задачи на принцип Дирихле. Однако их содержание не отличаются особым разнообразием, ибо сюжет задач должен точь в точь повторить условие принципа. Репетитор по математике обычно тратит на задачи данной тематики более одного олимпиадного урока из за достаточно сложной логики доказательств.
При́нцип Дирихле́ - утверждение, названное в честь автора немецкого математика, который жил в 19 веке. Данное утверждение устанавливает связь между объектами при выполнении определённых условий. Данный метод автор успешно применял его к доказательству арифметических утверждений. Принцип Дирихле применяется в разных разделах математики: в арифметике, в комбинаторике, в геометрии.
По традиции принцип Дирихле объясняют на примере "кроликов и клеток". Самая популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:
"Если в n клетках сидит n+1 или больше кроликов, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два кролика".
Более общая формулировка принципа: «Если k кроликов сидят в n клетках (k>n), то найдётся клетка, в которой не менее k/n кроликов»
Заметим, что в роли кроликов могут выступать различные предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и т. д. Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней - "клетки", а что - "кролики". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.
А дальше для понимания мы просто поиграли с Тимуром в вопрос-ответ, чтобы он уловил идею и принцип.
Задача: Шесть школьников съели семь конфет. Докажите, что один из них съел не менее двух конфет.
Он конечно, шустро уловил, что школьников меньше, чем конфет. А значит "лишняя" конфетка кому-то досталась.
Задача: Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели
Тут уже сложнее, потому что надо сообразить, что игроков на поле 11, в дней недели 7. Но справились.
А вот уж и наши перчатки-шарики пошли
Задача В мешке лежат шарики 2-х разных цветов (много белых и много черных). Какое наименьшее количество шариков надо на ощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета.
После этой задачки и теории подойти к решению нашей задачи про перчатки оказалось довольно просто.
И это мы лишь немного затронули тему комбинаторики и принципа Дирихле. Порылись - нашли кучу интересных задач. Будем думать, кто в каждой из них кролик, а кто клетка. Очень жаль что в кружке нет теоретической части. Ведь очевидно, что решение этой задачки без теории невозможно с полным пониманием.
5. Нитку сложили вдвое, ещё раз вдвое и ещё раз вдвое. Получившуюся толстую нитку разрезали на две части и разобрали на тонкие нитки. Оказалось, что три из этих ниточек имеют длины 4 см, 8 см и 10 см. Какова длина исходной нитки?
Последняя задачка про нитки решилась визуальным способом - путем реального сложения - разрезания нити. Ответ оказался неожиданным для меня.
Получили огромное удовольствие от задач этой недели. И вот такой интересный принцип узнали!!!!
Век живи - век учись!