Со знанием дела
sowa комментирует споры вокруг доказательства Перельмана Я не читал все тамошние комменты, но мне показалось, что от публики ускользнуло существенное обстоятельство. На данный момент есть принципиальная разница между результатом Перельмана и, скажем, неравенством Коши-Буняковского-Шварца.
Видимо, каждый математик сам изучал доказательство этого неравенства, и, скорее всего, не одно. Имеется полное понимание того, почему оно верно, как оно встроено в математику, и так далее - и каждый им пользующийся проверил его сам. Тут каждый - сам себе эксперт.
Человек, пользущийся свойствами модулей Верма, тоже обычно знает, как они доказываются, но это знание и само это понятие уже не явлются общеизвестными. Все же, до тех пор, пока каждый знаком с доказательством используемых им результатов, никакие эксперты и социальные институты не возникают.
Сложнее обстоит дело скажем, с классификацией конечных простых групп. Но когда ей пользуются, это явно оговаривается. Так что результат можно считать условным - если теорема классификации верна, то верно и вот это.
В случае Перельмана мы имеем дело с теоремой, в доказательстве которой кое-как разобрались не более 7 человек (не считая Перельмана). В частности, в комитете, который присудил миллион баксов, в нем могло бы, в принципе, разобраться два человека, но только про одного достоверно известно, что он к этому приложил серьезные усилия (Тао). Так что признание гипотезы Пункаре доказанной на данный момент является почти чисто социальным актом, за которым, я подозреваю, стоит очень многое кроме математики (старые обиды, преданность друзьям, и т.п.).
К счастью, или, наоборот, к несчастью, от результатов Перельмана практически ничего не зависит. Они не нужно даже для условных теорем (как с классификацией конечных групп). К счастью - потому, что шансы получить ошибочный результат, используя их - ничтожны. К несчастью - потому, что стимул заниматься их переосмыслением, поиском новых доказательств, и т.п. - довольно низок. И потому в ближайшее время трудно ожидать замены социального признания математическим пониманием.
[и дополнение]
Я бы хотел еще раз подчеркнуть слова "на данный момент". Скажем, известно, что в этом пытается разобраться некий французский семинар (французы вообще любят в чем-нибудь разбираться, и математики очень обязаны их бескорыстным усилиям). Вероятно, в обозримом будущем они опубликуют результаты своей возни и к тем, кто разобрался, можно будет добавить еще несколько человек.
Заметьте, что я использую довольно узкую интерпретацию термина "разобрался" - должны быть какие-то свидетельства этого, а не просто "полистал, вроде все понятно". Правда, такого утверждения я ни разу не слышал, и это не случайно. Работа очень сложна технически, и, видимо, не поддается извлечению из нее какой-нибудь идеологии, которую можно было бы применять, не разбираясь во всех деталях.
Для сравнения можно привести доказательство Коэна независимости континуум-гипотезы от аксиом теории множеств. Главный эксперт в этой проблеме, К. Гёдель, разобрался в доказательстве то ли за неделю, то ли за один день. Новые неожиданные результаты, основанные на методах Коэна, было получены уже через год, через два-три года появилось детальное изложение самого Коэна (книжка, переведенная на русский), новые варианты его метода. Все это быстро вошло в оборот и доступно для изучения неспециалистами (требует некоторого объема предварительных сведений, конечно). Ни в один момент никакого вердикта экспертов не требовалось (ну, может, в самом начале Коэн хотел знать, что скажет Гёдель).
Либо методы Перельмана в конце концов войдут в оборот, и тогда признание правильности его работы утратит социальный статус, либо нет. Во втором варианте тип признания будет неактуален: не важно, правильны или нет методы, которыми не пользуются.
Видимо, каждый математик сам изучал доказательство этого неравенства, и, скорее всего, не одно. Имеется полное понимание того, почему оно верно, как оно встроено в математику, и так далее - и каждый им пользующийся проверил его сам. Тут каждый - сам себе эксперт.
Человек, пользущийся свойствами модулей Верма, тоже обычно знает, как они доказываются, но это знание и само это понятие уже не явлются общеизвестными. Все же, до тех пор, пока каждый знаком с доказательством используемых им результатов, никакие эксперты и социальные институты не возникают.
Сложнее обстоит дело скажем, с классификацией конечных простых групп. Но когда ей пользуются, это явно оговаривается. Так что результат можно считать условным - если теорема классификации верна, то верно и вот это.
В случае Перельмана мы имеем дело с теоремой, в доказательстве которой кое-как разобрались не более 7 человек (не считая Перельмана). В частности, в комитете, который присудил миллион баксов, в нем могло бы, в принципе, разобраться два человека, но только про одного достоверно известно, что он к этому приложил серьезные усилия (Тао). Так что признание гипотезы Пункаре доказанной на данный момент является почти чисто социальным актом, за которым, я подозреваю, стоит очень многое кроме математики (старые обиды, преданность друзьям, и т.п.).
К счастью, или, наоборот, к несчастью, от результатов Перельмана практически ничего не зависит. Они не нужно даже для условных теорем (как с классификацией конечных групп). К счастью - потому, что шансы получить ошибочный результат, используя их - ничтожны. К несчастью - потому, что стимул заниматься их переосмыслением, поиском новых доказательств, и т.п. - довольно низок. И потому в ближайшее время трудно ожидать замены социального признания математическим пониманием.
[и дополнение]
Я бы хотел еще раз подчеркнуть слова "на данный момент". Скажем, известно, что в этом пытается разобраться некий французский семинар (французы вообще любят в чем-нибудь разбираться, и математики очень обязаны их бескорыстным усилиям). Вероятно, в обозримом будущем они опубликуют результаты своей возни и к тем, кто разобрался, можно будет добавить еще несколько человек.
Заметьте, что я использую довольно узкую интерпретацию термина "разобрался" - должны быть какие-то свидетельства этого, а не просто "полистал, вроде все понятно". Правда, такого утверждения я ни разу не слышал, и это не случайно. Работа очень сложна технически, и, видимо, не поддается извлечению из нее какой-нибудь идеологии, которую можно было бы применять, не разбираясь во всех деталях.
Для сравнения можно привести доказательство Коэна независимости континуум-гипотезы от аксиом теории множеств. Главный эксперт в этой проблеме, К. Гёдель, разобрался в доказательстве то ли за неделю, то ли за один день. Новые неожиданные результаты, основанные на методах Коэна, было получены уже через год, через два-три года появилось детальное изложение самого Коэна (книжка, переведенная на русский), новые варианты его метода. Все это быстро вошло в оборот и доступно для изучения неспециалистами (требует некоторого объема предварительных сведений, конечно). Ни в один момент никакого вердикта экспертов не требовалось (ну, может, в самом начале Коэн хотел знать, что скажет Гёдель).
Либо методы Перельмана в конце концов войдут в оборот, и тогда признание правильности его работы утратит социальный статус, либо нет. Во втором варианте тип признания будет неактуален: не важно, правильны или нет методы, которыми не пользуются.