Самое обидное, что Арнольд действительно говорит немало правильных вещей. Правильно, что нельзя подменять равенство 7*8=56 равенством 7*8=8*7? Безусловно, да. Правильно, что математики не должны отгораживаться от приложений и должны знать эти приложения (хотя бы на общем уровне)? Разумеется! Правильно, что нужно бороться с теми, кто полагает обратное (назовём их условно "бурбакистами")? Да, да и ещё раз да!
Но любая здравая мысль, доведённая до крайности, превращается в абсурд. Ибо утверждение, что 7*8 есть площадь прямоугольника - это уже не "связь с приложениями". Это - нелепость. Чтобы площадь прямоугольника равнялась произведению сторон - нужна, как минимум, возможность замостить прямоугольник меньшими! Таковая же возможность имеется отнюдь не всегда. И что - на сфере 7*8 не равно 56, да?!
Другой пример. На основе физических соображений не очень сложно доказать, что любая функция на отрезке является равномерно непрерывной. Действительно - любые параметры мы измеряем с конечной точностью, а потому для того, чтобы между измеренными параметрами имелась явная связь, требуется как раз равномерная непрерывность соотв. функции. Собственно, примерно на таких же соображениях основано доказательство брауэровской теоремы о веере (из которой интуиционисты также выводят равномерную непрерывность любой функции на отрезке). Следует ли отсюда, что в рамках чистой математики любая функция равномерно непрерывна? Нет и нет - можно привести сколько угодно контрпримеров! Отсюда следует лишь, что не любая математическая функция имеет смысл с точки зрения приложений.
Подлинное единство естественнонаучного знания - это когда мы понимаем, в чём суть каждой из естественнонаучных дисциплин, в чём их связь друг с другом, и в чём - отличие друг от друга. Отмена одной из таких дисциплин (в данном случае - отмена математики) и растворение её в других (в геометрии, например) - это уже не связь, а завязывание удавки на шее. Евклиду это было простительно - в его время не было ЭВМ и машинной математики с её потребностями. Повторять же евклидовские сказки о геометрической алгебре сегодня - это безграмотность, граничащая с научным преступлением!
Собственно, лично Арнольд в своём непонимании природы математики не очень-то и виноват. Дело в том, что "на окраинах" математики имеется ряд направлений, которые (подобно ньютоновскому методу флюксий) не относятся к чистой математике. Такое положение имеет место в квантовой теории поля, некоторых областях теории нелинейных диффуров ("некорректные задачи"). Там обычно имеется задача из приложений, которая худо бедно записывается в математической форме. При этом зачастую оказывается, что записанная математическая задача решения не имеет. Поэтому под "решением" понимается суррогат, основанный на неявном привлечении дополнительных внематематических соображений (благо, исходная-то задача - прикладная). И вот когда человек, которого в студенческие годы не научили ясному пониманию предмета математики, начинает копаться именно в этих полуматематических вещах - он и приходит к представлениям а ля Арнольд. Это, в общем-то, даже закономерно. Так что виноват Арнольд не в том, что он думает именно так, как он думает. Он виноват в том, что не слушает резонов тех, кто думает иначе (основываясь при этом на знании тех вещей, в которых сам Арнольд - ни в зуб электровозом), и что пытается навязать свои взгляды посредством фельдфебельских окриков.
Мне всё-таки думается, что Арнольд ратует не за отмену математической строгости, а за развитие всестороннего понимания предмета при его изучении и преподавании. Вот поэтому он и апеллирует к наглядным образам, иллюстрирующим алгебраические вещи, -- площадь, объём, а также к аналогиям между, казалось бы, совершенно различными свойствами разных объектов. Эти аналогии помогают вскрыть внутренние причины, почему эти свойства имеют место.
Допускаю, что он местами чуть перегибает, чтобы сделать мысль рельефнее. Но ведь это же перформанс! Надо убедить людей на эмоциональном уровне, и тогда они станут твоими сторонниками. Но всё-таки я считаю, что в том, что касается вещественной математики, "чувствовать нутром" поведение и свойства гладких объектов -- единственно правильный подход к их пониманию. Именно это "физическое" понимание математики предлагает развивать Арнольд. Именно в таком духе написаны его книги по дифф. уравнениям. При том, что все доказательства в них совершенно строги математически, эти книги развивают у изучающего именно геометрическое и "физическое" понимание материала.
Угу. По непроверенным слухам, кто-то из проникшихся наглядными образами товарищей даже настрочил опус, результаты которого основывались на компактности шара в бесконечномерном пространстве. Действительно - какой бы шарик мы себе наглядно ни представили, в нём легко представится и конечная эпсилон-сеть :)
Аналогия не есть доказательство. Более того - аналогия может оказаться и попросту ошибочной. И вот это простенькое замечание убивает арнольдовщину напрочь!
Лет 15 назад в американской математике активно обсуждался вопрос о неизбежной эрозии критериев строгости, и необходимости создания научной методологии, которая имеет дело с нестрого доказанными математическими "фактами". По результатам дискуссии был создан журнал "Journal of experimental mathematics". В принципе, дело к этому идет - мы возвращаемся к понятиям "строгости", свойственным Пуанкаре, Эйлеру и Лагранжу, и в качестве "доказательства" часто используется эвристический аргумент либо ссылка на теорию струн.
Инициатор дискуссии Arthur Jaffe - человек чрезвычайно весомый (в то время декан математического факультета в Гарварде, впоследствии долго контролировал основной американский частный фонд для награждения математиков - Clay Foundation).
Я сам в общих чертах согласен, пожалуй, с позицией товарищей математиков - парадигма "строгости" подвергается неизбежной эрозии, по причине того, что современная математика (то есть то, что выложено, например, в arxiv.org) по предмету изучения практически целиком тождественна струнной физике.
Думаю, о строгости Арнольд знает все, что нужно знать.
>> На основе физических соображений не очень сложно доказать, что любая функция на отрезке >>является равномерно непрерывной. Не думаю, что это так. Ну и главное на сколько я понимаю, главный его тезис: что чистая математика бесплодна, что самые интересные вещи на границе с физикой.
И еще, бороться бурбаковщиной Арнольд еще до травмы.
Думаю, о строгости Арнольд знает все, что нужно знать.
Это Вам так кажется, потому что Вы - физик ;)
Не думаю, что это так.
Ваши соображения? Свои (в пользу тезиса) я привёл.
главный его тезис: что чистая математика бесплодна, что самые интересные вещи на границе с физикой.
Будь оно так, я бы "мяу" не сказал (под высказанным Вами подпишусь двумя руками). Главный же тезис Арнольда - что чистой математики вообще нет. Почувствуйте разницу, как говорится. Собственно, об этом я даже в этой ветке неоднократно писал.
Кстати, о бурбаковщине: где-то Арнольд, помнится (правда, не помнится, где именно), упоминал, что сами-то бурбакисты считают его своим :) Конечно, он пытался откреститься - какой же, мол, я бурбакист! - но ведь по сути его оппоненты правы: мыслит он с ними одинаково (только результаты этих размышлений оценивает по-разному - но это вторично)...
Беда, коль пироги начнёт печи сапожник, А сапоги тачать пирожник.
Арнольд доказал свою компетентность в теории дифференциальных уравнений. А лекции читает по вопросам оснований и методологии - в которых он нуль полный. На сём позвольте откланяться, ибо по существу Вам, сколь я понимаю, сказать нечего.
Но любая здравая мысль, доведённая до крайности, превращается в абсурд. Ибо утверждение, что 7*8 есть площадь прямоугольника - это уже не "связь с приложениями". Это - нелепость. Чтобы площадь прямоугольника равнялась произведению сторон - нужна, как минимум, возможность замостить прямоугольник меньшими! Таковая же возможность имеется отнюдь не всегда. И что - на сфере 7*8 не равно 56, да?!
Другой пример. На основе физических соображений не очень сложно доказать, что любая функция на отрезке является равномерно непрерывной. Действительно - любые параметры мы измеряем с конечной точностью, а потому для того, чтобы между измеренными параметрами имелась явная связь, требуется как раз равномерная непрерывность соотв. функции. Собственно, примерно на таких же соображениях основано доказательство брауэровской теоремы о веере (из которой интуиционисты также выводят равномерную непрерывность любой функции на отрезке). Следует ли отсюда, что в рамках чистой математики любая функция равномерно непрерывна? Нет и нет - можно привести сколько угодно контрпримеров! Отсюда следует лишь, что не любая математическая функция имеет смысл с точки зрения приложений.
Подлинное единство естественнонаучного знания - это когда мы понимаем, в чём суть каждой из естественнонаучных дисциплин, в чём их связь друг с другом, и в чём - отличие друг от друга. Отмена одной из таких дисциплин (в данном случае - отмена математики) и растворение её в других (в геометрии, например) - это уже не связь, а завязывание удавки на шее. Евклиду это было простительно - в его время не было ЭВМ и машинной математики с её потребностями. Повторять же евклидовские сказки о геометрической алгебре сегодня - это безграмотность, граничащая с научным преступлением!
Собственно, лично Арнольд в своём непонимании природы математики не очень-то и виноват. Дело в том, что "на окраинах" математики имеется ряд направлений, которые (подобно ньютоновскому методу флюксий) не относятся к чистой математике. Такое положение имеет место в квантовой теории поля, некоторых областях теории нелинейных диффуров ("некорректные задачи"). Там обычно имеется задача из приложений, которая худо бедно записывается в математической форме. При этом зачастую оказывается, что записанная математическая задача решения не имеет. Поэтому под "решением" понимается суррогат, основанный на неявном привлечении дополнительных внематематических соображений (благо, исходная-то задача - прикладная). И вот когда человек, которого в студенческие годы не научили ясному пониманию предмета математики, начинает копаться именно в этих полуматематических вещах - он и приходит к представлениям а ля Арнольд. Это, в общем-то, даже закономерно. Так что виноват Арнольд не в том, что он думает именно так, как он думает. Он виноват в том, что не слушает резонов тех, кто думает иначе (основываясь при этом на знании тех вещей, в которых сам Арнольд - ни в зуб электровозом), и что пытается навязать свои взгляды посредством фельдфебельских окриков.
С уважением,
Гастрит
Reply
Допускаю, что он местами чуть перегибает, чтобы сделать мысль рельефнее. Но ведь это же перформанс! Надо убедить людей на эмоциональном уровне, и тогда они станут твоими сторонниками. Но всё-таки я считаю, что в том, что касается вещественной математики, "чувствовать нутром" поведение и свойства гладких объектов -- единственно правильный подход к их пониманию. Именно это "физическое" понимание математики предлагает развивать Арнольд. Именно в таком духе написаны его книги по дифф. уравнениям. При том, что все доказательства в них совершенно строги математически, эти книги развивают у изучающего именно геометрическое и "физическое" понимание материала.
Reply
Аналогия не есть доказательство. Более того - аналогия может оказаться и попросту ошибочной. И вот это простенькое замечание убивает арнольдовщину напрочь!
С уважением,
Гастрит
Reply
Reply
вопрос о неизбежной эрозии критериев строгости, и необходимости
создания научной методологии, которая имеет дело с нестрого
доказанными математическими "фактами". По результатам
дискуссии был создан журнал "Journal of experimental
mathematics". В принципе, дело к этому идет - мы
возвращаемся к понятиям "строгости", свойственным
Пуанкаре, Эйлеру и Лагранжу, и в качестве "доказательства"
часто используется эвристический аргумент либо ссылка
на теорию струн.
Это обсуждение выложено на архиве.орг:
http://arxiv.org/abs/math.HO/9307227
http://arxiv.org/abs/math.HO/9404231
http://arxiv.org/abs/math.HO/9404236
http://arxiv.org/abs/math.HO/9404229
``Theoretical mathematics'': Toward a cultural synthesis
of mathematics and theoretical physics
Инициатор дискуссии
Arthur Jaffe - человек чрезвычайно весомый
(в то время декан математического факультета
в Гарварде, впоследствии долго контролировал
основной американский частный фонд для
награждения математиков - Clay Foundation).
Я сам в общих чертах согласен, пожалуй,
с позицией товарищей математиков - парадигма
"строгости" подвергается неизбежной эрозии,
по причине того, что современная математика
(то есть то, что выложено, например, в arxiv.org)
по предмету изучения практически целиком
тождественна струнной физике.
Такие дела
Миша
Reply
Reply
>> На основе физических соображений не очень сложно доказать, что любая функция на отрезке >>является равномерно непрерывной.
Не думаю, что это так.
Ну и главное на сколько я понимаю, главный его тезис:
что чистая математика бесплодна,
что самые интересные вещи на границе с физикой.
И еще, бороться бурбаковщиной Арнольд еще до травмы.
Reply
Это Вам так кажется, потому что Вы - физик ;)
Не думаю, что это так.
Ваши соображения? Свои (в пользу тезиса) я привёл.
главный его тезис: что чистая математика бесплодна, что самые интересные вещи на границе с физикой.
Будь оно так, я бы "мяу" не сказал (под высказанным Вами подпишусь двумя руками). Главный же тезис Арнольда - что чистой математики вообще нет. Почувствуйте разницу, как говорится. Собственно, об этом я даже в этой ветке неоднократно писал.
Кстати, о бурбаковщине: где-то Арнольд, помнится (правда, не помнится, где именно), упоминал, что сами-то бурбакисты считают его своим :) Конечно, он пытался откреститься - какой же, мол, я бурбакист! - но ведь по сути его оппоненты правы: мыслит он с ними одинаково (только результаты этих размышлений оценивает по-разному - но это вторично)...
С уважением,
Гастрит
Reply
Reply
Беда, коль пироги начнёт печи сапожник,
А сапоги тачать пирожник.
Арнольд доказал свою компетентность в теории дифференциальных уравнений. А лекции читает по вопросам оснований и методологии - в которых он нуль полный. На сём позвольте откланяться, ибо по существу Вам, сколь я понимаю, сказать нечего.
С уважением,
Гастрит
Reply
Это который про Моську и слона?
Reply
Leave a comment